Question

Помогите решить однородное дифференциальное уравнение xy'+y(ln(y/x)-1)=0

Answer 1

$xy'+y(ln\frac{y}{x}-1)=0\\y=tx;y'=t'x+t\\\\x(t'x+t)+tx(lnt-1)=0|:x\\t'x+t+tlnt-t=0\\t'x+tlnt=0\\t'x=-tlnt|*\frac{dx}{xtlnt}\\\frac{dt}{tlnt}=-\frac{dx}{x}\\\\tlnt=0\\t=0\ \ \ \ \ lnt=0\\y=0\ \ \ \ \ t=1\\.\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ y=x\\.\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ y'=1\\x+x(ln1-1)=0\\0=0\\\\\int \frac{dt}{tlnt}=-\int\frac{dx}{x}\\ln|lnt|=-ln|x|+C\\ln|lnt|+ln|x|=ln|C|\\ln|xlnt|=ln|C|\\xlnt=C\\xln\frac{y}{x}=C$

Answer 2

Данное уравнение является однородным дифференциальным уравнением первого порядка. Давайте рассмотрим его поэтапное решение.

Шаг 1: Перепишем уравнение

Перепишем данное уравнение, чтобы производная $y'$ была в явном виде: $$ xy' + y(\ln\frac{y}{x} - 1) = 0 $$

Шаг 2: Проведем замену переменных

Для решения однородного уравнения обычно проводят замену переменных. Введем новую переменную $u = \frac{y}{x}$, затем продифференцируем ее по $x$.

$$ u = \frac{y}{x} \implies y = ux $$

Теперь продифференцируем $u$ по $x$ с помощью правила дифференцирования частного функций: $$ \frac{d}{dx}(u) = \frac{d}{dx}(\frac{y}{x}) $$

Шаг 3: Находим $u'$

Для нахождения $u'$ используем правило дифференцирования частного функций: $$ u' = \frac{d}{dx}(\frac{y}{x}) = \frac{x\frac{dy}{dx} - y}{x^2} $$

Шаг 4: Подставляем в исходное уравнение

Теперь подставим $y = ux$ и $y' = u'$ в исходное уравнение: $$ xu' + ux(\ln\frac{ux}{x} - 1) = 0 $$

Шаг 5: Упрощаем уравнение

Упростим уравнение, учитывая, что $\ln\frac{ux}{x} = \ln(u) = \ln(\frac{y}{x})$: $$ xu' + ux(\ln(u) - 1) = 0 $$

Шаг 6: Факторизуем уравнение

Вынесем общий множитель: $$ x(u' + u(\ln(u) - 1)) = 0 $$

Шаг 7: Разделяем переменные

Так как произведение двух функций равно нулю, то каждый из множителей равен нулю: 1. $x = 0$ 2. $u' + u(\ln(u) - 1) = 0$

Шаг 8: Решение первого множителя

Если $x = 0$, то $y = 0$.

Шаг 9: Решение второго множителя

Рассмотрим уравнение $u' + u(\ln(u) - 1) = 0$. Это уже неоднородное уравнение, и его решение может быть сложным. Для его решения можно воспользоваться различными методами, такими как метод вариации постоянной или метод Лагранжа.

Например, используя метод вариации постоянной, мы можем предположить, что $u = e^v$, где $v$ - новая переменная. Тогда $u' = e^v v'$ и подставим это в уравнение: $$ e^v v' + e^v(\ln(e^v) - 1) = 0 $$

Упростим: $$ e^v v' + e^v(v - 1) = 0 $$

Сократим на $e^v$: $$ v' + v - 1 = 0 $$

Это уже линейное уравнение первого порядка, которое можно решить. Решением будет: $$ v = C e^{-x} + 1 $$

где $C$ - произвольная постоянная.

Теперь найдем $u$, подставив найденное $v$: $$ u = e^v = e^{C e^{-x} + 1} $$

Шаг 10: Найдем $y$

Чтобы найти $y$, подставим найденное $u$ в $y = ux$: $$ y = x e^{C e^{-x} + 1} $$

Таким образом, общее решение однородного дифференциального уравнения $xy' + y(\ln\frac{y}{x} - 1) = 0$ имеет две части: 1. $y = 0$ (когда $x = 0$) 2. $y = x e^{C e^{-x} + 1}$ (когда $x \neq 0$)

где $C$ - произвольная постоянная.