Question

Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений имеет единственное решение: x^2 - 6x + y^2 - 6y + 14 = 0 x^2 - 2a(x+y) + y^2 + a^2 = 0

Answer 1

Преобразуем x^2 - 6x + y^2 - 6y + 14 = 0.
x^2 - 6x + 9 + y^2 - 6y + 9 = 4
(x-3)^2 + (y-3)^2 = 2^2 - окружность радиуса 2 с центром в (3;3)
Преобразуем x^2 - 2a(x+y) + y^2 + a^2 = 0.
x^2 - 2ax + a^2 + y^2 - 2ay + a^2 = a^2
(x-a)^2 + (y-a)^2 = a^2 - окружность радиуса a с центром в (a;a).
Видим, что центр второй окружности располагается на прямой y=x, там же, где и центр первой окружности. Следовательно, точка касания окружностей будет лежать именно на прямой y=x.
Найдем эти точки касания:
x=y,
(x-3)^2 + (y-3)^2 = 2^2
Отсюда
2*(x-3)^2 = 2^2
(x-3)^2=2
x=y=3+-√2.
Тогда для второй окружности должно выполняться условие:
Расстояние от центра второй окружности (a;a) до точки касания равно радиусу второй окружности.
1) Точка касания (3-√2;3-√2)
Длина вектора (a - (3-√2); a - (3-√2)) равна a. Это значит, что (a - (3-√2))^2+(a - (3-√2))^2=a^2,
2(a-(3-√2))^2=a^2,
(a√2-(3√2-2))^2-a^2=0,
(a(√2-1)-(3√2-2))(a(√2+1)-(3√2-2))=0
Отсюда
а) a(√2-1)-(3√2-2)=0
a=(3√2-2)/(√2-1)=((3√2-2)(√2+1))/((√2-1)*(√2+1))=4+√2
б) a(√2+1)-(3√2-2)=0
a=(3√2-2)/(√2+1)=((3√2-2)(√2-1))/((√2+1)(√2-1))=8-5√2
2) Точка касания (3+√2;3+√2)
Длина вектора (a - (3+√2); a - (3+√2)) равна a. Это значит, что (a - (3+√2))^2+(a - (3+√2))^2=a^2,
2((a - (3+√2))^2)-a^2=0,
(a√2-(3√2+2))^2-a^2=0,
(a(√2-1)-(3√2+2))(a(√2+1)-(3√2+2))=0.
Отсюда
а) a(√2-1)-(3√2+2)=0
a=(3√2+2)/(√2-1)=((3√2+2)(√2+1))/((√2-1)(√2+1))=8+5√2
б) a(√2+1)-(3√2+2)=0
a=(3√2+2)/(√2+1)=((3√2+2)(√2-1))/((√2-1)(√2+1))=4-√2
Ответ: 4-√2, 4+√2, 8-5√2, 8+5√2.

Answer 2

Для нахождения всех значений а, при которых система уравнений имеет единственное решение, нужно решить систему уравнений.

Исходная система уравнений: 1) x^2 - 6x + y^2 - 6y + 14 = 0 2) x^2 - 2a(x+y) + y^2 + a^2 = 0

Рассмотрим первое уравнение: x^2 - 6x + y^2 - 6y + 14 = 0

Для начала проведем полный квадрат для x и y: x^2 - 6x + 9 + y^2 - 6y + 9 + 14 - 9 - 9 = 0 (x - 3)^2 + (y - 3)^2 = 4

Таким образом, первое уравнение задает окружность с центром в точке (3, 3) и радиусом 2.

Рассмотрим второе уравнение: x^2 - 2a(x+y) + y^2 + a^2 = 0

Приведем подобные слагаемые: (x^2 + y^2) - 2a(x + y) + a^2 = 0

Рассмотрим это уравнение как квадратное относительно x + y: (x + y)^2 - 2a(x + y) + a^2 = 0

Положим x + y = z: z^2 - 2az + a^2 = 0

Это квадратное уравнение имеет единственное решение, если его дискриминант равен нулю: D = (-2a)^2 - 4(a^2) = 4a^2 - 4a^2 = 0

Таким образом, получаем, что для любого значения а система уравнений будет иметь единственное решение.

Ответ: для всех значений а система уравнений имеет единственное решение.