Question

Возвести в степень по формуле Муавра (-1+√3i)^9Извлечь корень√(2+2√3i)

Answer 1

Нужно представить число в тригонометрической форме.
(-1+√3*i)^9 = (2*(-1/2 + √3/2*i))^9 = (2*(cos 2pi/3 + i*sin 2pi/3))^9 =
= 2^9*(cos (2*9pi/3) + i*sin (2*9pi/3)) = 512*(cos 6pi + i*sin 6pi) = 512(1 + 0) = 512

√(2 + 2√3*i) = √(4*(1/2 + √3/2*i)) = √(4*(cos pi/3 + i*sin pi/3))
Получаем 2 значения
1) 2*(cos pi/6 + i*sin pi/6) = √3 + i
2) 2*(cos (pi+pi/6) + i*sin (pi+pi/6)) = 2*(cos 7pi/6 + i*sin 7pi/6) = -√3 - i

Answer 2

Для начала рассмотрим возведение числа в степень по формуле Муавра.

Возведение в степень по формуле Муавра

Формула Муавра позволяет возводить комплексные числа в степень. Для этого комплексное число в алгебраической форме \( z = r(\cos \theta + i \sin \theta) \) возводится в степень \( n \) по формуле:

\[ z^n = r^n (\cos n\theta + i \sin n\theta) \]

где \( r \) - модуль комплексного числа, \( \theta \) - аргумент комплексного числа.

Теперь рассмотрим конкретный пример: \[ (-1 + \sqrt{3}i)^9 \]

Сначала найдем модуль и аргумент комплексного числа \( -1 + \sqrt{3}i \): Модуль: \[ r = \sqrt{(-1)^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = 2 \] Аргумент: \[ \theta = \arctan\left(\frac{\sqrt{3}}{-1}\right) = \frac{5\pi}{3} \]

Теперь возводим в степень: \[ (-1 + \sqrt{3}i)^9 = 2^9 \left( \cos(9 \cdot \frac{5\pi}{3}) + i \sin(9 \cdot \frac{5\pi}{3}) \right) \]

\[ (-1 + \sqrt{3}i)^9 = 512 \left( \cos(15\pi) + i \sin(15\pi) \right) \]

\[ (-1 + \sqrt{3}i)^9 = 512 \left( \cos(\pi) + i \sin(\pi) \right) \]

\[ (-1 + \sqrt{3}i)^9 = 512 \left( -1 + i \cdot 0 \right) \]

\[ (-1 + \sqrt{3}i)^9 = -512 \]

Теперь рассмотрим извлечение корня комплексного числа.

Извлечение корня комплексного числа

Для извлечения корня комплексного числа \( z \) в алгебраической форме \( z = r(\cos \theta + i \sin \theta) \), используется следующая формула:

\[ \sqrt[n]{z} = \sqrt[n]{r} \left( \cos\frac{\theta + 2k\pi}{n} + i \sin\frac{\theta + 2k\pi}{n} \right) \]

где \( k = 0, 1, 2, ..., n-1 \).

Теперь рассмотрим конкретный пример: \[ \sqrt{2+2\sqrt{3}i} \]

Сначала найдем модуль и аргумент комплексного числа \( 2 + 2\sqrt{3}i \): Модуль: \[ r = \sqrt{2^2 + (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{4 + 12} = \sqrt{16} = 4 \] Аргумент: \[ \theta = \arctan\left(\frac{2\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\pi}{3} \]

Теперь извлекаем корень: \[ \sqrt{2+2\sqrt{3}i} = \sqrt{4} \left( \cos\frac{\frac{\pi}{3} + 2k\pi}{2} + i \sin\frac{\frac{\pi}{3} + 2k\pi}{2} \right) \]

\[ \sqrt{2+2\sqrt{3}i} = 2 \left( \cos\frac{\pi}{6} + i \sin\frac{\pi}{6} \right) \]

\[ \sqrt{2+2\sqrt{3}i} = 2 \left( \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i \right) \]

\[ \sqrt{2+2\sqrt{3}i} = \sqrt{3} + i \]

Так