Question

Вычислите пределы а) Lim 6x4+3x2-5 / 3x4+2x2+1 x стремится к бесконечности б) Lim sin3x/6x x стремится к 0

Answer 1

А) lim [(6x^4+3x^2-5)/(3x^4+2x^2+1)] разделим числитель и знаменатель на x^4 получим lim [(6+3x^-2 -5x^-4)/(3+2x^-2+x^-4)] при стремление х к бесконечности члены с х в отрицательной степени обратяться в 0, таким образом предел будет равен lim 6/3=2 ; б) lim sin3x/6x= lim sin3x/(2*3x вынесем постоянный множитель1/2 за предел и учтем, что в при х->0 sin3x эквивалентно 3х, т.е. предел равен: (1/2)*lim 3x/3x= 1/2. Ответ: а) 2; б) 1/2

Answer 2

Вычисление пределов

а) Чтобы вычислить предел функции Lim (6x^4 + 3x^2 - 5) / (3x^4 + 2x^2 + 1 + x) при x, стремящемся к бесконечности, мы можем использовать правило Лопиталя или анализ терминов с наибольшей степенью.

Первым шагом давайте рассмотрим каждый член функции по отдельности:

1. В числителе у нас есть 6x^4 + 3x^2 - 5. 2. В знаменателе у нас есть 3x^4 + 2x^2 + 1 + x.

Когда x стремится к бесконечности, наибольшая степень x в числителе и знаменателе будет x^4.

Теперь мы можем применить правило Лопиталя, которое говорит, что если предел функции f(x) / g(x) при x, стремящемся к бесконечности, существует и равен бесконечности или бесконечно малой величине, то предел отношения производных f'(x) / g'(x) будет тем же.

Давайте продифференцируем числитель и знаменатель:

1. f'(x) = 24x^3 + 6x 2. g'(x) = 12x^3 + 4x + 1

Теперь вычислим предел отношения производных при x, стремящемся к бесконечности:

Lim (f'(x) / g'(x)) = Lim ((24x^3 + 6x) / (12x^3 + 4x + 1))

Поскольку наибольшая степень x в числителе и знаменателе равна x^3, мы можем снова применить правило Лопиталя:

Lim ((24x^3 + 6x) / (12x^3 + 4x + 1)) = Lim ((72x^2 + 6) / (36x^2 + 4))

Рассмотрим предел отношения производных при x, стремящемся к бесконечности:

Lim ((72x^2 + 6) / (36x^2 + 4)) = Lim (72 / 36) = 2

Таким образом, предел функции (6x^4 + 3x^2 - 5) / (3x^4 + 2x^2 + 1 + x) при x, стремящемся к бесконечности, равен 2.

б) Теперь давайте вычислим предел функции Lim sin(3x) / (6x + x) при x, стремящемся к 0.

Поскольку x стремится к 0, мы можем использовать теорему о пределе синуса: Lim sin(x) / x = 1.

Применяя эту теорему к нашему пределу, получаем:

Lim sin(3x) / (6x + x) = Lim (3x) / (7x) = Lim 3/7 = 3/7

Таким образом, предел функции sin(3x) / (6x + x) при x, стремящемся к 0, равен 3/7.