Question

Дано А(-2;0) ,B(1;3) , C(-1; 2). Проверить могут ли они являться вершинами треугольника? Если да,то найти S -площадь этого треугольника , высоту CH и ее уравнение?

Answer 1

Найдем длины сторон АВ, АС и ВС:
$AB= \sqrt{(1-(-2))^2+(3-0)^2} = \sqrt{9+9} =3 \sqrt{2} \\\ AC= \sqrt{(-1-(-2))^2+(2-0)^2} = \sqrt{1+4} = \sqrt{5} \\\ BC= \sqrt{(-1-1)^2+(2-3)^2} = \sqrt{4+1} = \sqrt{5}$
Для сторон АС и ВС очевидно выполняется неравенство треугольника. Убедимся, что оно выполняется и для стороны АВ:
$3 \sqrt{2} \ \textless \ \sqrt{5} + \sqrt{5} \\\ 3 \sqrt{2} \ \textless \ 2\sqrt{5} \\\ \sqrt{18} \ \textless \ 2\sqrt{20}$
Значит, треугольник АВС существует.

Площадь треугольника найдем как половина модуля векторного произведения векторов АВ и АС (или сначала найти уравнение и длину высоты СН, а затем найти площадь как полупроизведение основания на высоту):
$\vec{AB}=\{1-(-2); \ 3-0\}=\{3; \ 3\}=\{3; \ 3; \ 0\} \\\ \vec{AC}=\{-1-(-2); \ 2-0\}=\{1; \ 2\}=\{1; \ 2\; \ 0\}$
$S= \frac{1}{2}| [\vec{AB} \ \vec{AC}}]| \\\ [\vec{AB} \ \vec{AC}}]= \left|\begin{array}{ccc}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\3&3&0\\1&2&0\end{array}\right|= \\\ =\vec{i}\cdot3\cdot0+\vec{j}\cdot0\cdot1+\vec{k}\cdot3\cdot2-\vec{k}\cdot1\cdot3-\vec{j}\cdot3\cdot0-\vec{i}\cdot0=0\vec{i}+0\vec{j}+3\vec{k} \\\ S=\frac{1}{2}| \sqrt{0^2+0^2+3^2} |= \frac{3}{2}$

С другой стороны площадь треугольника можно найти как половина произведения стороны АВ на проведенную к ней высоту СН:
$\frac{AB\cdot CH}{2} = \frac{3}{2} \\\ 3 \sqrt{2} \cdot CH = 3 \\\ CH= \frac{1}{ \sqrt{2}}$

Для определения уравнения высоты СН составим уравнения перпендикулярной стороны АВ:
$\frac{x-x_1}{x_2-x_1} = \frac{y-y_1}{y_2-y_1} \\\ \frac{x-(-2)}{1-(-2)} = \frac{y-0}{3-0} \\\ \frac{x+2}{1+2} = \frac{y}{3} \\\ y= x+2$

Угловой коэффициент прямой СН является обратным и противоположным по отношению к соответствующему коэффициенту прямой АВ:
$k_0=- \frac{1}{1} =-1$

Составляем уравнение прямой, проходящей через заданную точку С с заданным угловым коэффициентом -1:
$y-y_0=k(x-x_0) \\\ y-2=-(x-(-1)) \\\ y-2=-x-1 \\\ y=1-x$

Answer 2

Checking the Triangle Vertices

To check if the given points A(-2, 0), B(1, 3), and C(-1, 2) can form a triangle, we can calculate the slopes of the lines formed by connecting these points. If the slopes are different for each pair of points, then they can form a triangle.

The formula to calculate the slope between two points (x1, y1) and (x2, y2) is given by: m = (y2 - y1) / (x2 - x1)

Let's calculate the slopes for the given points:

1. Slope of AB: - mAB = (3 - 0) / (1 - (-2)) = 3 / 3 = 1 2. Slope of BC: - mBC = (2 - 3) / (-1 - 1) = -1 / -2 = 1/2 3. Slope of AC: - mAC = (2 - 0) / (-1 - (-2)) = 2 / 1 = 2

The slopes of the lines AB, BC, and AC are different, so the given points A, B, and C can form a triangle.

Calculating the Area of the Triangle

To find the area of the triangle formed by the points A(-2, 0), B(1, 3), and C(-1, 2), we can use the formula for the area of a triangle given the coordinates of its vertices.

The formula to calculate the area of a triangle with vertices (x1, y1), (x2, y2), and (x3, y3) is given by: S = 0.5 * |x1(y2 - y3) + x2(y3 - y1) + x3(y1 - y2)|

Let's calculate the area of the triangle using the given points A, B, and C.

S = 0.5 * |(-2)(3 - 2) + 1(2 - 0) + (-1)(0 - 3)| = 0.5 * |-2 + 2 - 3| = 0.5 * |-3| = 1.5

The area of the triangle formed by the points A(-2, 0), B(1, 3), and C(-1, 2) is 1.5 square units.

Finding the Height CH and Its Equation

To find the height CH of the triangle, we can use the formula for the area of a triangle in terms of its base and height.

The formula to calculate the area of a triangle in terms of its base and height is given by: S = 0.5 * base * height

Let's solve for the height CH using the area we calculated earlier.

1.5 = 0.5 * BC * CH CH = 3 / BC CH = 3 / sqrt(1^2 + 2^2) CH = 3 / sqrt(5)

So, the height CH of the triangle is 3 / sqrt(5), and its equation can be expressed in terms of the line BC.

I hope this helps! If you have further questions, feel free to ask.