Question

В треугольнике ABC отмечены середины M и N сторон BC и AC соответственно. Площадь четырёхугольника ABMN равна 24. Найдите площадь треугольника CNM.

Answer 1

MN- соединяет середины сторон ВС и АС. ⇒  
MN - средняя линия треугольника АВС и параллельна АВ.  
Углы при основании АС в ∆ АВС и при основании MN в ∆ MNC равны как соответственные при пересечении параллельных прямых секущей. ⇒ 
 Треугольники подобны. k=1/2
 Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия.  
 S ∆ MNC= 1/4 S∆ ABC ⇒  
 S ABMN=3/4 S∆ ABC 
 1/4 S ABC=24:3=8  
 S ∆ CMN=8 (ед. площади)

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем воспользоваться фактом, что середины сторон треугольника делят их пополам. Это значит, что отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, параллелен третьей стороне и его длина равна половине длины третьей стороны.

Нахождение площади четырёхугольника ABMN

Площадь четырёхугольника ABMN можно найти, используя формулу для площади четырёхугольника, который образован диагоналями треугольника: \[S_{ABMN} = \frac{1}{2} \cdot \text{диагональ} \cdot \text{диагональ}\] где диагональ - отрезок, соединяющий середины сторон треугольника.

Нахождение площади треугольника CNM

Теперь, учитывая то, что отрезок MN параллелен стороне AB треугольника ABC, и делит её пополам, мы можем использовать свойство параллелограмма. Таким образом, площадь четырёхугольника ABMN равна площади параллелограмма, образованного векторами AB и MN.

Решение

1. Найдём площадь четырёхугольника ABMN по формуле: \[S_{ABMN} = \frac{1}{2} \cdot \text{диагональ} \cdot \text{диагональ} = \frac{1}{2} \cdot \text{AB} \cdot \text{MN} = 24\]

2. Теперь, зная площадь четырёхугольника ABMN, мы можем найти площадь треугольника CNM. Площадь параллелограмма, образованного векторами AB и MN, равна площади треугольника ABC. Таким образом, площадь треугольника CNM равна половине площади треугольника ABC.

Ответ

\[S_{CNM} = \frac{1}{2} \cdot S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 48 = 24\]

Таким образом, площадь треугольника CNM равна 24.