Question

Клетки доски 4на 4 закрасили в три цвета. Известно , что каждая клетка имеет общие стороны с клетками двух других цветов. Докажите. что клеток каждого цвета не меньше четырех.

Answer 1

Ответ ну я точно не заю но кажется что 4 разделить на 4 и умножить а 3

Answer 2

Для доказательства данного утверждения воспользуемся методом от противного.

Предположим, что существует такое раскрашивание доски 4x4, где клеток одного цвета меньше четырех.

Пусть, например, клеток первого цвета всего 3 (A1, A2, A3). Тогда каждая из этих клеток имеет общие стороны с клетками двух других цветов (пусть это будут клетки второго и третьего цвета).

Рассмотрим клетку второго цвета, которая имеет общую сторону с клеткой первого цвета (пусть это будет клетка B1). Так как клеток первого цвета всего 3, то клетка B1 имеет еще одну общую сторону с клеткой третьего цвета (пусть это будет клетка C1).

Теперь рассмотрим клетку третьего цвета C1. Она имеет общую сторону с клеткой второго цвета B1 и клеткой первого цвета A1. Так как клеток первого цвета всего 3, то клетка C1 имеет еще одну общую сторону с клеткой второго цвета (пусть это будет клетка B2).

Таким образом, мы получили, что клетка B1 имеет две общие стороны: с клеткой первого цвета A1 и с клеткой третьего цвета C1. Но это противоречит условию задачи, так как каждая клетка должна иметь общие стороны только с клетками двух других цветов.

Таким образом, наше предположение о том, что существует раскрашивание доски 4x4, где клеток одного цвета меньше четырех, неверно. Значит, клеток каждого цвета не меньше четырех.