Question

Найти точку максимума функции y=x^3-2x^2+x+3

Answer 1

D(y)=R
y'=3x^2-4x+1
D(y')=R
y'=0
3x^2-4x+1=0
D=16-12=4
x=(4+-2)/6

x=1
x=1/3

..+.........-...........+.... y'
......1/3......1........>х
возр.убыв.возр. y
у(1/3)=1/27 - 2/9 + 1/3 + 3=(1-6+9+81)/27=85/27=3 4/27 - максимум ф-ии

Answer 2

Производная
у'=3x²-4x+1
y'=0 → 3x²-4x+1=0
D=(-4)²-4*3=16-12=4
$x_1=\frac{4-2}{2*3}=\frac{1}{3}\\x_2=\frac{4+2}{2*3}=1$
исследуем её
        +                    -              + 
-----------------.----------------.------------>
                     $\frac{1}{3}$                1
y'(0)=1, 1>0
y'(0,5)=3*(0,5)²-4*0,5+1=0,75-2+1=-0,25, -0,25<0
y'(4)=3*4²-4*4+1=48-16+1=33, 33>0
Ответ: точка максимума $\frac{1}{3}$

Answer 3

Для нахождения точки максимума функции y = x^3 - 2x^2 + x + 3, мы должны найти значения x и y, при которых функция достигает своего максимального значения. Для этого нам понадобится немного дифференциального исчисления.

Нахождение производной функции

Сначала найдем производную функции y по x. Производная функции показывает нам скорость изменения функции в каждой точке.

Для данной функции, производная будет равна: y' = 3x^2 - 4x + 1

Решение уравнения y' = 0

Чтобы найти точку максимума функции, мы должны найти значения x, при которых производная равна нулю. Решим уравнение:

3x^2 - 4x + 1 = 0

Мы можем решить это уравнение с помощью факторизации или используя квадратное уравнение. Попробуем факторизацию:

(3x - 1)(x - 1) = 0

Отсюда получаем два возможных значения x:

1) 3x - 1 = 0 -> x = 1/3 2) x - 1 = 0 -> x = 1

Проверка знаков производной

Для определения, является ли найденная точка максимумом или минимумом, мы должны проанализировать знаки производной в окрестности этих значений.

- При x < 1/3 производная положительна, значит, функция возрастает. - При 1/3 < x < 1 производная отрицательна, значит, функция убывает. - При x > 1 производная снова положительна, функция снова возрастает.

Определение точки максимума

Таким образом, у нас есть две точки, где производная равна нулю: x = 1/3 и x = 1. Поскольку функция сначала возрастает, а затем убывает, мы можем заключить, что x = 1/3 является точкой максимума функции y = x^3 - 2x^2 + x + 3.

Нахождение значения y в точке максимума

Чтобы найти значение y в точке максимума, подставим x = 1/3 в исходную функцию:

y = (1/3)^3 - 2(1/3)^2 + 1/3 + 3

После вычислений получаем:

y = 2.37037037037037

Таким образом, точка максимума функции y = x^3 - 2x^2 + x + 3 находится в координатах (1/3, 2.37037037037037).