Question

Вычислите значение тригонометрического выражения: 1)tg^2a+ctg^2a,если tga+ctga=2 2)sina*cosa,если sina-cosa=√2

Answer 1

1)$(tga+ctga)^{2}=4$
$tg^{2}a+2*tga*ctga + ctg^{2}a=4$, т. к. $tga*ctga=1$, то:
$tg^{2}a + ctg^{2}a=4-2$
$tg^{2}a+ ctg^{2}a=2$
2)$(sina-cosa)^{2} =2$
$sin^{2}a-2sina*cosa+cos^{2}a=2$, т. к. $sin^{2}a+cos^{2}=1$, то:
$-2*sina*cosa=1$
$sina*cosa=-н$

Answer 2

Давайте решим каждую задачу по очереди.

1) Дано: tga + ctga = 2

Мы знаем, что tg(a) = sin(a) / cos(a) и ctg(a) = cos(a) / sin(a). Давайте заменим эти выражения в исходном уравнении:

sin(a) / cos(a) + cos(a) / sin(a) = 2

Для удобства, домножим это уравнение на cos(a) * sin(a), чтобы избавиться от дробей:

sin^2(a) + cos^2(a) = 2 * cos(a) * sin(a)

Используя тригонометрическое тождество sin^2(a) + cos^2(a) = 1, мы получим:

1 = 2 * cos(a) * sin(a)

Теперь, чтобы найти значение tg^2(a) + ctg^2(a), нам нужно найти значение tg(a) и ctg(a). Давайте рассмотрим их:

tg(a) = sin(a) / cos(a) ctg(a) = cos(a) / sin(a)

Теперь заменим их в выражении tg^2(a) + ctg^2(a):

(sin(a) / cos(a))^2 + (cos(a) / sin(a))^2

(sin^2(a) / cos^2(a)) + (cos^2(a) / sin^2(a))

(sin^2(a) + cos^2(a)) / (cos^2(a) * sin^2(a))

Так как sin^2(a) + cos^2(a) = 1, мы можем заменить это значение:

1 / (cos^2(a) * sin^2(a))

Теперь, используя уравнение 1 = 2 * cos(a) * sin(a), мы можем заменить значение cos^2(a) * sin^2(a):

1 / [(1/2)^2 * 2] = 1 / (1/4 * 2) = 1 / (1/2) = 2

Таким образом, значение выражения tg^2(a) + ctg^2(a) равно 2.

2) Дано: sina - cosa = √2

Мы знаем, что sin(a) * cos(a) = 1/2 * (sin(2a)), где sin(2a) - это двойной угол для sin(a).

Давайте заменим значение sin(a) - cos(a) в исходном уравнении:

sin(a) - cos(a) = √2 sin(a) - cos(a) = sin(45°)

Теперь заменим sin(a) - cos(a) на sin(45°):

sin(45°) = √2 / 2

Таким образом, значение выражения sina * cosa равно (√2 / 2) * (√2 / 2) = 2 / 4 = 1 / 2.

Ответ: 1) Значение выражения tg^2(a) + ctg^2(a) равно 2. 2) Значение выражения sina * cosa равно 1 / 2.