Question

Вычислить площадь фигуры,ограниченной линиями: y=-x^2+25,y=0

Answer 1

Y`=-x^3/3-25x
y=5*5*5/3-25*3=...

Answer 2

Для того чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми y = -x^2 + 25 и y = 0, можно воспользоваться методом интегрирования. Поскольку заданы верхняя и нижняя границы фигуры, можно использовать определенный интеграл для вычисления площади.

Определение площади фигуры

Площадь фигуры, ограниченной кривыми y = f(x), y = g(x) и вертикальными линиями x = a, x = b, вычисляется по формуле: \[S = \int_{a}^{b} |f(x) - g(x)| \, dx\]

Вычисление площади

В данном случае, кривая y = -x^2 + 25 представляет собой параболу, а кривая y = 0 является осью X. Таким образом, мы должны найти точки пересечения этих двух кривых, чтобы определить пределы интегрирования.

Нахождение точек пересечения

Для нахождения точек пересечения кривых y = -x^2 + 25 и y = 0, решим уравнение -x^2 + 25 = 0: \[ -x^2 + 25 = 0 \] \[ x^2 = 25 \] \[ x = \pm 5 \]

Таким образом, точки пересечения находятся при x = -5 и x = 5.

Вычисление площади с использованием интеграла

Теперь, используя найденные точки пересечения, мы можем вычислить площадь фигуры: \[ S = \int_{-5}^{5} |-x^2 + 25 - 0| \, dx \] \[ S = \int_{-5}^{5} (x^2 - 25) \, dx \]

Вычисление интеграла

Для вычисления интеграла, проинтегрируем функцию x^2 - 25 от -5 до 5: \[ S = \int_{-5}^{5} (x^2 - 25) \, dx \] \[ S = \left[\frac{x^3}{3} - 25x\right]_{-5}^{5} \] \[ S = \left(\frac{5^3}{3} - 25 \cdot 5\right) - \left(\frac{(-5)^3}{3} - 25 \cdot (-5)\right) \] \[ S = \left(\frac{125}{3} - 125\right) - \left(-\frac{125}{3} + 125\right) \] \[ S = \frac{250}{3} + \frac{250}{3} \] \[ S = \frac{500}{3} \]

Ответ

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной кривыми y = -x^2 + 25 и y = 0, равна \(\frac{500}{3}\) квадратных единиц.