Question

Составить уравнение касательной к плоскости и нормали к данной поверхности в данной точке.√4+х^2+y^2 выражение все под корнемточка(3;6;7)

Answer 1

поверхност задана в явном виде

$z(x,y)=\sqrt{4+x^2+y^2};$

Частные производные равны

$z'_x=\frac{1}{2\sqrt{4+x^2+y^2}}*(2x)=\frac{x}{\sqrt{4+x^2+y^2}};\\\\z'_y=\frac{y}{\sqrt{4+x^2+y^2}}$

Значение частных производнхых в данной точке равны

$z'_x|(3;6;7)=\frac{3}{\sqrt{4+3^2+6^2}}=\frac{3}{\sqrt{4+9+36}}=\frac{3}{7};\\\\z'_y|(3;6;7)=\frac{6}{7}$

Уравнение касательной

$z'_x |(x_o;y_o;z_o)*(x-x_o)+z'_y |(x_o;y_o;z_o)*(y-y_o)=z-z_0;\\\\ \frac{3}{7}*(x-3)+\frac{6}{7}*(y-6)=z-7;\\\\ 3(x-3)+6(y-6)=7(z-7);\\\\ 3x-9+6y-36-7z+49=0;\\\\ 3+-6y-7z+4=0;$

Координаты нормали

$(-\frac{z'_x|(x_o;y_o;z_o)}{\sqrt{(z'_x|(x_o;y_o;z_o))^2+(z'_y|(x_o;y_o;z_o))^2+1}};-\frac{z'_y|(x_o;y_o;z_o)}{\sqrt{(z'_x|(x_o;y_o;z_o))^2+(z'_y|(x_o;y_o;z_o))^2+1}};1)=$

$(-\frac{\frac{3}{7}}{\sqrt{(\frac{3}{7})^2+(\frac{6}{7})^2+1}};-\frac{\frac{3}{7}}{\sqrt{(\frac{6}{7})^2+(\frac{6}{7})^2+1}};1}=\\\\ (-\frac{3}{\sqrt{46}};-\frac{6}{\sqrt{46}};1)$

Уравнение нормали

$\frac{x-x_0}{l}=\frac{y-y_o}{m}=\frac{z-z_0}{n};\\\\ \frac{x-3}{-\frac{3}{\sqrt{46}}}=\frac{y-5}{-\frac{6}{\sqrt{46}}}=\frac{z-7}{1}$

Answer 2

Для того чтобы составить уравнение касательной к плоскости и нормали к данной поверхности в заданной точке, мы можем использовать дифференциальное исчисление. Давайте начнем с расчета уравнения касательной плоскости.

Уравнение касательной плоскости

Для начала, нам нужно найти градиент (вектор нормали) данной поверхности в точке (3, 6, 7). Поверхность задана уравнением √(4x^2 + y^2).

Сначала найдем частные производные по x и y: Частная производная по x: ∂(√(4x^2 + y^2))/∂x = (1/2)*(4x^2 + y^2)^(-1/2)*8x = 16x/(2√(4x^2 + y^2))

Частная производная по y: ∂(√(4x^2 + y^2))/∂y = (1/2)*(4x^2 + y^2)^(-1/2)*2y = 2y/(2√(4x^2 + y^2)) = y/√(4x^2 + y^2)

Теперь найдем градиент: ∇f = (16x/(2√(4x^2 + y^2)), y/√(4x^2 + y^2))

Теперь подставим координаты точки (3, 6, 7) в выражение для градиента: ∇f(3, 6, 7) = (16*3/(2√(4*3^2 + 6^2)), 6/√(4*3^2 + 6^2)) = (24/√(72), 6/√(72))

Теперь у нас есть вектор нормали к поверхности в данной точке.

Уравнение касательной плоскости в точке (3, 6, 7) имеет вид: 24/√(72)(x - 3) + 6/√(72)(y - 6) + c = 0

Уравнение нормали

Уравнение нормали к поверхности в точке (3, 6, 7) имеет вид: 24/√(72)(x - 3) + 6/√(72)(y - 6) + 72z + d = 0

где (3, 6, 7) - координаты точки, 24/√(72) и 6/√(72) - координаты вектора нормали, c и d - константы, которые определяются из условия прохождения плоскости через заданную точку.

Надеюсь, это поможет вам составить уравнения касательной к плоскости и нормали к данной поверхности в заданной точке. Если у вас есть дополнительные вопросы или требуется дальнейшее объяснение, пожалуйста, дайте мне знать!