Question

Вычислить площадь фигуры ограниченной линиями y=x+1, y=x^2+2x+1

Answer 1

S = интеграл от - 1 до 0 от (х+1  - (х+1)квад)dx) = интеграл от 0 до 1 от (t - tквад)dt = (tквад/2  -  tкуб/3) от 0 до 1 = 1/2  -   1/3  = 1/6

Answer 2

x^2+2x+1=x+1

x1=0    x2=(-1)

площадь треугольника образованной прямой х+1, осью Х и осью Y  = 1*1/2=1/2

через первообразную найдем площадь фигуры между параболой и осью Х 

x^3/3+x^2+x

F(0)-F(-1)=0-(-1/3)=1/3

теперь от площади треугольника образованного прямой х+1 и осью Х отнимем площадь получившейся выше части параболы:
1/2-1/3=1/6

Ответ:1/6 

 

 

 

Answer 3

Данная фигура ограничена двумя кривыми линиями: y = x + 1 и y = x^2 + 2x + 1. Чтобы вычислить площадь этой фигуры, нам нужно найти точки их пересечения и затем проинтегрировать разность этих функций между этими точками.

Для начала найдем точки пересечения этих двух кривых, приравняв их уравнения: x + 1 = x^2 + 2x + 1

Перенесем все члены уравнения в одну сторону: x^2 + x + 1 - 2x - 1 = 0

Упростим: x^2 - x = 0

Факторизуем это уравнение: x(x - 1) = 0

Таким образом, получаем две точки пересечения: x = 0 и x = 1.

Теперь, чтобы вычислить площадь фигуры, нужно найти интеграл разности этих функций между этими точками. Формула для вычисления площади между двумя кривыми на интервале [a, b] выглядит следующим образом:

S = ∫(f(x) - g(x)) dx, где f(x) - верхняя кривая, g(x) - нижняя кривая.

В нашем случае верхняя кривая это y = x^2 + 2x + 1, а нижняя кривая это y = x + 1. Таким образом, площадь фигуры можно вычислить следующим образом:

S = ∫((x^2 + 2x + 1) - (x + 1)) dx

Вычислим этот интеграл:

S = ∫(x^2 + x) dx

S = (1/3)x^3 + (1/2)x^2 + C

Теперь найдем значения площади между точками пересечения x = 0 и x = 1:

S = [(1/3)(1)^3 + (1/2)(1)^2] - [(1/3)(0)^3 + (1/2)(0)^2]

S = (1/3 + 1/2) - (0 + 0)

S = 5/6

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями y = x + 1 и y = x^2 + 2x + 1, равна 5/6.