Question

2x^4-x^2+1 найти промежутки монотонности, желательно подробн реш

Answer 1

Функция возрастает, если:  (2x⁴-x²+1)`>0 и убывает, если (2x⁴-x²+1)`<0   ⇒
(2x⁴-x²+1)`=8x³-x=x*(8x²-1)=x*(2√2x-1)*(2√2x+1)
x₁=0     x₂=-√2/4    x₃=√2/4
-∞_____-_____-√2/4_____+_____0_____-_____√2/4______+_____+∞   ⇒
При х∈(-∞;-√2/4)U(0;√2/4) функция убывает.
При x∈(-√2/4;0)U(√2/4;+∞) функция возрастает.

Answer 2

Решение уравнения и поиск промежутков монотонности

Для начала найдем производную данной функции и решим уравнение f'(x) = 0, чтобы найти критические точки. Затем, используя тест знаков, определим промежутки монотонности функции.

1. Найдем производную функции f(x): - f(x) = 2x^4 - x^2 + 1 - f'(x) = 8x^3 - 2x

2. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю и решив уравнение: - 8x^3 - 2x = 0 - 2x(4x^2 - 1) = 0 - x = 0, x = -1/2, x = 1/2

3. Теперь используем тест знаков, чтобы определить промежутки монотонности: - При x < -1/2, f'(x) < 0, следовательно, f(x) убывает на этом промежутке. - При -1/2 < x < 0, f'(x) > 0, следовательно, f(x) возрастает на этом промежутке. - При 0 < x < 1/2, f'(x) > 0, следовательно, f(x) возрастает на этом промежутке. - При x > 1/2, f'(x) > 0, следовательно, f(x) убывает на этом промежутке.

Таким образом, функция f(x) убывает на промежутке (-∞, -1/2), возрастает на промежутке (-1/2, 0) и (0, 1/2), и снова убывает на промежутке (1/2, +∞).