Question

Интеграл √x × lnx dx

Answer 1

Решение на картинке.

Answer 2

Конечно! Я могу помочь вам с этим интегралом. Давайте решим интеграл ∫√x · lnx · dx по шагам.

Шаг 1: Выбор метода интегрирования

Для решения данного интеграла можно использовать метод интегрирования по частям, так как произведение функций присутствует в интеграле.

Шаг 2: Применение метода интегрирования по частям

Метод интегрирования по частям основан на формуле: ∫u · v · dx = u · ∫v · dx - ∫(u' · ∫v · dx) · dx, где u и v - выбранные функции, u' - производная функции u.

В нашем случае, выберем u = lnx и dv = √x · dx. Тогда, du = (1/x)dx и v = (2/3)x^(3/2).

Шаг 3: Применение формулы интегрирования по частям

Применяя формулу интегрирования по частям, получаем: ∫√x · lnx · dx = lnx · (2/3)x^(3/2) - ∫(1/x · (2/3)x^(3/2))dx.

Шаг 4: Упрощение интеграла

Далее, упростим полученный интеграл: ∫√x · lnx · dx = (2/3) ∫x^(3/2) · lnx dx - (2/3) ∫x^(3/2 - 1)dx.

Шаг 5: Вычисление интегралов

Вычислим два интеграла отдельно. ∫x^(3/2) · lnx dx: Для этого интеграла можно снова использовать метод интегрирования по частям, выбрав u = lnx и dv = x^(3/2)dx. Получим: ∫x^(3/2) · lnx dx = lnx · (2/5)x^(5/2) - ∫(1/x · (2/5)x^(5/2))dx. Продолжая процесс интегрирования по частям, получим: ∫x^(3/2) · lnx dx = lnx · (2/5)x^(5/2) - (2/5) ∫x^(5/2 - 1)dx. ∫x^(3/2) · lnx dx = lnx · (2/5)x^(5/2) - (2/5) ∫x^(3/2)dx. ∫x^(3/2) · lnx dx = lnx · (2/5)x^(5/2) - (2/5) · (2/5)x^(5/2 + 1)/(5/2 + 1). ∫x^(3/2) · lnx dx = lnx · (2/5)x^(5/2) - (4/25) · x^(7/2)/(7/2).

∫x^(3/2 - 1)dx: Вычисляем интеграл: ∫x^(3/2 - 1)dx = ∫x^(1/2)dx = (2/3)x^(3/2).

Шаг 6: Окончательный результат

Теперь подставим полученные значения обратно в наш исходный интеграл: ∫√x · lnx · dx = (