Question

Найти производную функции1) y=3arcsin2x2)y=x*lnx

Answer 1

1) y'=2/√(1-4х²)
2) y'=lnx+1

Answer 2

1) Для нахождения производной функции y = 3arcsin(2x), воспользуемся формулой производной для обратной функции.

Пусть u = 2x, тогда arcsin(u) = y/3.

Применим формулу производной для обратной функции:

dy/du = 1/sqrt(1-u^2).

Теперь найдем производную функции y по x, используя цепное правило:

dy/dx = dy/du * du/dx = (1/sqrt(1-u^2)) * (d(2x)/dx) = (1/sqrt(1-u^2)) * 2.

Заменим u обратно на 2x:

dy/dx = (1/sqrt(1-(2x)^2)) * 2 = 2/sqrt(1-4x^2).

Таким образом, производная функции y = 3arcsin(2x) равна dy/dx = 2/sqrt(1-4x^2).

2) Для нахождения производной функции y = x * ln(x), воспользуемся правилом производной произведения функций.

Применим правило производной произведения функций:

dy/dx = (d(x)/dx) * ln(x) + x * (d(ln(x))/dx).

Дифференцируем каждую из функций по отдельности:

(d(x)/dx) = 1,

(d(ln(x))/dx) = 1/x.

Подставим эти значения в исходное выражение:

dy/dx = 1 * ln(x) + x * (1/x) = ln(x) + 1.

Таким образом, производная функции y = x * ln(x) равна dy/dx = ln(x) + 1.