Question

Докажите,что сумма кубов трех последовательных целых чисел делится на9

Answer 1

X^3+(x+1)^3+(x+2)^3=x^3+x^3+3x^2+3x+1+x^3+6x^2+12x+8=3x^3+9x^2+15x+9=3(x^3+5x)+9(x^2+1);
9(x^2+1) делится на 9;
докажем, что x^3+5x  делится на 3
любое число x можно записать в одном из 3 видов:
1) x=3y
2) x=3y+1
3) x=3y+2
1) очевидно, что числа 1 вида делятся на 3
2) подставим вместо x: x^3+5x=x(x^2+5)=(3y+1)[(3y+1)^2+5]=(3y+1)(9y^2+6y+1+5)=3(3y+1)(3y^2+2y+2) - делится на 3
3)  подставим вместо x: x^3+5x=x(x^2+5)=(3y+2)[(3y+2)^2+5]=(3y+2)(9y^2+12y+4+5)=3(3y+2)(3y^2+4y+3) - делится на 3

зн. любое число вида x^3+5x делится на 3
Доказано!!! 

Answer 2

Для доказательства того, что сумма кубов трех последовательных целых чисел делится на 9, мы можем использовать метод математической индукции.

Предположим, что первое из трех последовательных целых чисел равно n. Тогда следующие два числа будут равны n+1 и n+2.

Исходя из этого, мы можем записать сумму кубов этих трех чисел следующим образом:

n^3 + (n+1)^3 + (n+2)^3

Раскроем скобки и упростим:

n^3 + (n+1)(n+1)(n+1) + (n+2)(n+2)(n+2)

n^3 + (n^2 + 2n + 1)(n+1) + (n^2 + 4n + 4)(n+2)

n^3 + (n^3 + 3n^2 + 3n + 1) + (n^3 + 6n^2 + 12n + 8)

3n^3 + 9n^2 + 15n + 9

Теперь мы можем вынести 9 из каждого слагаемого:

9( n^3 + n^2 + 5n + 1)

Мы видим, что получившееся выражение является произведением 9 и некоторого целого числа. Таким образом, сумма кубов трех последовательных целых чисел делится на 9.

Таким образом, мы доказали, что сумма кубов трех последовательных целых чисел всегда делится на 9.