Question

Найти наибольшее значение р, при котором корни уравнения: - (р-3)x в квадрате+2px-6p=0 существуют и положительны.

Answer 1

(3-p)x²+2px-6p=0
{x1+x2>0
{x1*x2>0
{D≥0
1)D=4p²+24p(3-p)=4p²+72p-24p²=72p-20p²≥0
4p(18-5p)≥0
p=0  p=3,6
0≤p≤3,6
2)2p/(p-3)>0
p=0  p=3
p<0 U p>3
3)6p/(p-3)>0
p<0 U p>3
p∈(3;3,6]

Answer 2

Для того чтобы найти наибольшее значение переменной р, при котором корни уравнения ((р-3)x)^2 + 2px - 6p = 0 существуют и положительны, мы можем использовать метод дискриминанта и анализировать различные случаи.

Пусть у нас есть уравнение: ((р-3)x)^2 + 2px - 6p = 0.

Шаг 1: Вычисление дискриминанта

Дискриминант используется для определения типа корней уравнения. В данном случае, нам нужно, чтобы уравнение имело два положительных корня.

Для уравнения вида ax^2 + bx + c = 0, дискриминант вычисляется по формуле: D = b^2 - 4ac.

В нашем случае, a = (р-3)^2, b = 2p и c = -6p. Подставим значения в формулу дискриминанта:

D = (2p)^2 - 4(р-3)^2(-6p) D = 4p^2 + 24p(р-3)^2

Шаг 2: Анализ дискриминанта

Мы хотим, чтобы уравнение имело два положительных корня. Для этого, дискриминант D должен быть больше нуля.

D > 0 4p^2 + 24p(р-3)^2 > 0

Шаг 3: Решение неравенства

Решим неравенство 4p^2 + 24p(р-3)^2 > 0.

4p^2 + 24p(р^2 - 6р + 9) > 0 4p^2 + 24pр^2 - 144pр + 216p > 0 28p^2 - 144pр + 216p > 0

Шаг 4: Разложение и анализ множителей

Мы можем разложить левую часть неравенства на множители, чтобы проанализировать их знаки и определить интервалы, в которых выполняется неравенство.

28p^2 - 144pр + 216p = 0 4p(7p - 36р + 54) = 0

Выполним факторизацию второго множителя:

7p - 36р + 54 = 0 7p = 36р - 54 p = (36р - 54) / 7

Шаг 5: Анализ интервалов и определение наибольшего значения р

Теперь мы можем проанализировать знаки множителей и определить интервалы, в которых выполняется неравенство 28p^2 - 144pр + 216p > 0.

Анализируя знаки каждого множителя, мы можем определить, что:

- 4p > 0 всегда положительно. - 7p - 36р + 54 > 0, когда (36р - 54) / 7 > 0 или 36р - 54 > 0.

Решим неравенство 36р - 54 > 0:

36р - 54 > 0 36р > 54 р > 54 / 36 р > 3 / 2

Таким образом, мы можем заключить, что наибольшее значение переменной р, при котором корни уравнения ((р-3)x)^2 + 2px - 6p = 0 существуют и положительны, это р > 3/2.