Question

Найти количество корней уравнения 2tg^2x+3=3\cosx , принадлежащих отрезку [0;360]

Answer 1

Найти количество корней уравнения 2tg^2x+3=3\cosx , принадлежащих отрезку [0;360°]
одз : cosx ≠0  x≠π/2+πn, n∈Z.
2tg²x+3=3\cosx      2sin²x/cos²x=3cosx/cos²x ⇔ 2sin²x=3cosx⇔
2(1-cos²x)=3cosx      2cos²x+3cosx -2=0  
cosx  =t   ItI≤1, t≠0            2t²+3t-2=0    
                                          t1=[-3-√(9+16)]  /2 =-4   посторонний корень,
                                          t2=[-3+√(9+16)]  /2 =1
                                          cosx  =1 ⇔x=2πn, n∈Z,
                                           
x∈[0;360°]  : x=0°,  x=360°

Answer 2

Для начала, давайте перепишем уравнение в более удобной форме, чтобы найти количество корней. Уравнение, которое нам дано:

\[ 2\tan^2(x) + 3 = 3\cos(x) \]

Переписывание уравнения

Давайте перепишем уравнение, используя следующие тождества: \[ \tan^2(x) + 1 = \sec^2(x) \] \[ \cos(x) = \frac{1}{\sec(x)} \]

Теперь у нас получается: \[ 2\tan^2(x) + 3 = 3\cos(x) \] \[ 2\tan^2(x) + 3 = 3 \cdot \frac{1}{\sec(x)} \] \[ 2\tan^2(x) + 3 = \frac{3}{\sec(x)} \] \[ 2\tan^2(x) + 3 = \frac{3}{\cos(x)} \]

Поиск корней

Теперь мы можем переписать уравнение в терминах тангенса, что поможет нам найти корни. После этого мы получаем следующее квадратное уравнение:

\[ 2\tan^2(x) - \frac{3}{\cos(x)} + 3 = 0 \]

Это уравнение представляет собой квадратное уравнение в терминах тангенса, и мы можем использовать дискриминант, чтобы определить количество корней.

Решение квадратного уравнения

Для решения квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\) мы используем дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac \]

Если дискриминант \(D > 0\), у уравнения два вещественных корня. Если \(D = 0\), у уравнения один вещественный корень. Если \(D < 0\), у уравнения нет вещественных корней.

Подставление коэффициентов

Таким образом, мы можем подставить коэффициенты \(a = 2\), \(b = -\frac{3}{\cos(x)}\), и \(c = 3\) в формулу для дискриминанта и определить количество корней.

Решение уравнения

Давайте рассчитаем дискриминант и определим количество корней.