Question

Сумма дроби, числитель и знаменатель которой являются взаимно обратными числами, с его обратным числом равна 61/30. Найдите сумму числителя и знаменателя.

Answer 1

Пишите, если что не так.

Answer 2

Давайте разберемся с задачей.

Пусть числитель дроби равен x, а знаменатель равен y. Тогда, основываясь на условии задачи, мы можем записать уравнение:

x/y + 1/(x/y) = 61/30

Давайте упростим это уравнение. Сначала заметим, что второе слагаемое в левой части равно y/x:

x/y + y/x = 61/30

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на xy:

x^2 + y^2 = 61/30 * xy

Теперь у нас есть квадратное уравнение с двумя неизвестными. Чтобы найти x и y, нам нужно еще одно уравнение. В условии сказано, что числитель и знаменатель являются взаимно обратными числами. Это означает, что x * y = 1.

Теперь у нас есть два уравнения:

1) x^2 + y^2 = 61/30 * xy 2) x * y = 1

Мы можем решить это систему уравнений, чтобы найти значения x и y. Затем мы сможем найти сумму числителя и знаменателя.

Решение:

Используя второе уравнение, мы можем выразить одну переменную через другую:

y = 1/x

Подставим это выражение в первое уравнение:

x^2 + (1/x)^2 = 61/30 * x * (1/x)

Simplify this equation and solve for x:

x^2 + 1/x^2 = 61/30

Multiply both sides by x^2 to get rid of the denominator:

x^4 + 1 = (61/30) * x^2

Multiply both sides by 30 to get rid of the fraction:

30x^4 + 30 = 61x^2

Rearrange the equation:

30x^4 - 61x^2 + 30 = 0

Now we have a quadratic equation in terms of x^2. We can solve this equation for x^2 using the quadratic formula:

x^2 = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a

In this case, a = 30, b = -61, and c = 30. Plugging in these values, we get:

x^2 = (61 ± √((-61)^2 - 4*30*30)) / (2 * 30)

Simplifying the equation further:

x^2 = (61 ± √(3721 - 3600)) / 60 x^2 = (61 ± √121) / 60

There are two possible solutions for x^2:

1) x^2 = (61 + 11) / 60 = 72 / 60 = 6/5 2) x^2 = (61 - 11) / 60 = 50 / 60 = 5/6

Since x is the numerator of the fraction, we can take the square root of x^2 to find x:

1) x = √(6/5) = √6 / √5 2) x = √(5/6) = √5 / √6

Now we can find the values of y using the equation y = 1/x:

1) y = 1 / (√6 / √5) = √5 / √6 2) y = 1 / (√5 / √6) = √6 / √5

Finally, we can find the sum of the numerator and denominator:

1) x + y = (√6 / √5) + (√5 / √6) 2) x + y = (√5 / √6) + (√6 / √5)