Question

ПРОИЗВОДНАЯ ПОМОГИТЕ)) 1) укажите точку максимума функции F(x)=x^2+9/x 2)Напишите уравнение касательной к графику функции у=х^2-4x, параллельной прямой y=4x-5. В ответ укажите площадь треугольника, образованного этой касательной и осями координат. 3) Какой угол образует с осью абсцисс касательная к графику функции у=х^5-x в начале координат? В ответ укажите градусную меру этого угла.

Answer 1

$f(x)=x^2+\frac{9}{x}=x^2+9x^-1$

 

$f'(x)=2x-9x^-2=2x-\frac{9}{x^2}$

 

$2x-\frac{9}{x^2}=0$

 

$2x^3=9$

 

$x^3=\frac{9}{2}$

 

$x=\sqrt[3]{\frac{9}{2}}$

Answer 2

Для начала, давайте найдем производную функции F(x) = x^2 + 9/x + 2.

Нахождение производной функции

Для нахождения производной функции F(x), мы будем использовать правила дифференцирования.

Применяя правило дифференцирования степенной функции, получаем:

F'(x) = 2x - 9/x^2

Теперь, чтобы найти точку максимума функции, мы должны приравнять производную к нулю и решить уравнение:

2x - 9/x^2 = 0

Умножим обе части уравнения на x^2, чтобы избавиться от дроби:

2x^3 - 9 = 0

Нахождение точки максимума

Решим уравнение:

2x^3 - 9 = 0

Разделим обе части уравнения на 2:

x^3 - 4.5 = 0

Добавим 4.5 к обеим сторонам уравнения:

x^3 = 4.5

Возьмем кубический корень от обеих сторон уравнения:

x = ∛4.5

Аппроксимированное значение для ∛4.5 равно примерно 1.71.

Таким образом, точка максимума функции F(x) находится при x = 1.71.

Уравнение касательной параллельной прямой

Теперь рассмотрим уравнение касательной к графику функции y = x^2 - 4x, которая параллельна прямой y = 4x - 5.

Для того чтобы эти две функции были параллельны, их производные должны быть равны.

Производная функции y = x^2 - 4x равна:

y' = 2x - 4

Производная функции y = 4x - 5 равна:

y' = 4

Таким образом, уравнение касательной к графику функции y = x^2 - 4x, параллельной прямой y = 4x - 5, имеет вид:

y = 2x + b

где b - это константа.

Площадь треугольника, образованного касательной и осями координат

Чтобы найти площадь треугольника, образованного касательной и осями координат, нам нужно знать координаты точек пересечения касательной с осями координат.

Так как касательная проходит через точку (0, b), нам нужно найти значение b.

Подставим координаты точки (0, b) в уравнение касательной:

b = 2 * 0 + b

b = b

Таким образом, точка (0, b) лежит на касательной.

Теперь найдем точку пересечения касательной с осью x. Для этого, приравняем y в уравнении касательной к нулю:

0 = 2x + b

2x = -b

x = -b/2

Таким образом, точка пересечения касательной с осью x имеет координаты (-b/2, 0).

Точка пересечения касательной с осью y имеет координаты (0, b).

Теперь мы можем построить треугольник, используя эти три точки.

Площадь треугольника можно найти, используя формулу площади треугольника:

S = (1/2) * base * height

где base - это длина основания треугольника, а height - это высота треугольника.

Основание треугольника равно длине отрезка, соединяющего точки (-b/2, 0) и (0, b). Это просто b/2.

Высота треугольника равна длине отрезка, проведенного из точки (-b/2, 0) до касательной (0, b). Это просто b.

Таким образом, площадь треугольника равна:

S = (1/2) * (b/2) * b

S = (1/2) * (b^2/2)

S = b^2/4

Таким образом, площадь треугольника, образованного касательной и осями координат, равна b^2/4.

Угол, образованный касательной с осью абсцисс

Чтобы найти угол, образованный касательной с осью абсцисс, нам нужно найти угол между касательной и горизонтальной осью.

Угол между касательной и горизонтальной осью равен арктангенсу отношения коэффициента при x в уравнении касательной к свободному члену уравнения касательной.

В уравнении касательной y = 2x + b, коэффициент при x равен 2, а свободный член равен b.

Таким образом, угол между касательной и горизонтальной осью равен арктангенсу 2/b.

Теперь, чтобы найти угол в градусах, мы можем использовать следующую формулу:

угол_в_градусах = арктангенс(2/b) * 180/π

где π - это число пи, примерно равное 3.14159.

Таким образом, угол, образованный касательной с осью абсцисс, равен арктангенсу 2/b * 180/π градусов.