Question

При каких значениях 'a' уравнение имеет два действительных различных корня ? x^2-4ax+3a+1=0

Answer 1

D>0
16a²-4(3a+1)>0
16a²-12a-4>0
4a²-3a-1>0
(a-1)(4a+1)>0
a€(-беск.;-0,25)U(1;+беск.)

Answer 2

Для определения при каких значениях переменной 'a' уравнение x^2 - 4ax + 3a + 1 = 0 имеет два действительных различных корня, мы можем использовать дискриминант.

Дискриминант квадратного уравнения ax^2 + bx + c = 0 вычисляется по формуле D = b^2 - 4ac. Если дискриминант положительный (D > 0), то уравнение имеет два действительных корня. Если дискриминант равен нулю (D = 0), то уравнение имеет один действительный корень (корень является дважды кратным). Если дискриминант отрицательный (D < 0), то уравнение имеет два комплексных корня.

Теперь применим эту информацию к уравнению x^2 - 4ax + 3a + 1 = 0.

Вычисление дискриминанта:

В нашем случае, a = 1, b = -4a = -4, c = 3a + 1.

Подставим значения в формулу дискриминанта:

D = (-4a)^2 - 4 * 1 * (3a + 1)

D = 16a^2 - 12a - 4

Теперь нам нужно найти значения 'a', при которых D > 0, чтобы уравнение имело два действительных различных корня.

Решение неравенства:

16a^2 - 12a - 4 > 0

Факторизация:

Первым шагом факторизуем левую часть неравенства:

4(4a^2 - 3a - 1) > 0

Решение факторизованного неравенства:

Теперь решим факторизованное неравенство:

4a^2 - 3a - 1 > 0

Можно применить различные методы решения этого квадратного неравенства, такие как графический метод или метод интервалов. Однако, если мы применим метод интервалов, мы получим:

(-∞, a1) ∪ (a2, +∞)

где a1 и a2 - корни квадратного уравнения 4a^2 - 3a - 1 = 0.

Таким образом, при значениях 'a', находящихся в интервале (-∞, a1) и (a2, +∞), уравнение x^2 - 4ax + 3a + 1 = 0 имеет два действительных различных корня.

Примечание: Чтобы найти значения a1 и a2, необходимо решить уравнение 4a^2 - 3a - 1 = 0, используя квадратную формулу или другие методы решения квадратных уравнений.