Question

Решите пожалуйста y"-6y'+9y=0 y(0)=1 y'(0)=1

Answer 1

$y"-6y'+9y=0$
$y=e^{kx}$
$k^2*e^{kx}-6k*e^{kx}+9e^{kx}=0$
$e^{kx}(k^2-6k+9)=0$
$k^2-6k+9=0$
$(k-3)^2=0$

$Y=C_1e^{3x}+C_2xe^{3x}$

$\left \{ {{C_1e^{3*0}+C_2*0*e^{3*0}=1} \atop {3C_1e^{3*0}+C_2e^{3*0}+3C_2*0*e^{3*0}=1}} \right.$
$\left \{ {{C_1=1} \atop {3C_1+C_2=1}} \right.$
$\left \{ {{C_1=1} \atop {3+C_2=1}} \right.$
$\left \{ {{C_1=1} \atop {C_2=-2}} \right.$
$Y=e^{3x}-2xe^{3x}$

Answer 2

Решение дифференциального уравнения y"-6y'+9y=0

Данное дифференциальное уравнение второго порядка можно решить с использованием характеристического уравнения и метода вариации постоянных.

Характеристическое уравнение

Характеристическое уравнение для уравнения вида y"-6y'+9y=0 имеет вид λ^2 - 6λ + 9 = 0.

Решим характеристическое уравнение: λ^2 - 6λ + 9 = 0 (λ - 3)^2 = 0 λ = 3 (кратность 2)

Таким образом, характеристическое уравнение имеет двойной корень λ=3.

Общее решение

Теперь мы можем записать общее решение дифференциального уравнения: y(t) = c1 * e^(3t) + c2 * t * e^(3t)

где c1 и c2 - произвольные постоянные.

Начальные условия

Для определения значений постоянных c1 и c2 воспользуемся начальными условиями y(0)=1 и y'(0)=1.

1. Подставим начальные условия в общее решение: y(0) = c1 * e^0 + c2 * 0 * e^0 = c1 = 1 y'(t) = 3c1 * e^(3t) + c2 * e^(3t) + c2 * 3t * e^(3t)

2. Теперь найдем y'(0): y'(0) = 3c1 * e^0 + c2 * e^0 + c2 * 0 * e^0 = 3c1 + c2 = 1

Нахождение постоянных

Изначально у нас было y(t) = c1 * e^(3t) + c2 * t * e^(3t), где c1 = 1. Теперь, используя y'(0) = 1, мы можем найти c2: 3c1 + c2 = 1 3*1 + c2 = 1 c2 = -2

Частное решение

Таким образом, итоговое частное решение дифференциального уравнения имеет вид: y(t) = e^(3t) - 2t * e^(3t)

Это и есть решение данного дифференциального уравнения при заданных начальных условиях y(0)=1 и y'(0)=1.