Question

Решите уравнение y'+2y=e^-x

Answer 1

$y'+2y=e^{-x}\\y=uv;y'=u'v+v'u\\u'v+v'u+2uv=e^{-x}\\u'v+u(2v+v')=e^{-x}\\\begin{cases}2v+v'=0\\u'v=e^{-x}\end{cases}\\2v+\frac{dv}{dx}=0|*\frac{dx}{v}\\2dx+\frac{dv}{v}=0\\\frac{dv}{v}=-2dx\\\int\frac{dv}{v}=-2\int dx\\ln|v|=-2x\\v=e^{-2x}\\\frac{du}{dx}*e^{-2x}=e^{-x}|*\frac{dx}{e^{-2x}}\\du=e^{x}dx\\\int du=\int e^xdx\\u=e^x+C\\y=e^{-2x}(e^x+C)$

Answer 2

Дано уравнение: y' + 2y = e^(-x)

Для решения этого уравнения мы будем использовать метод вариации постоянной.

Шаг 1: Найдите общее решение соответствующего однородного уравнения. Однородное уравнение имеет вид: y' + 2y = 0. Чтобы решить это уравнение, предположим, что y имеет вид y = e^(mx), где m - неизвестная постоянная. Подставим это предположение в уравнение и получим: (me^(mx)) + 2e^(mx) = 0. Факторизуем e^(mx) и получим: e^(mx)(m + 2) = 0. Так как e^(mx) никогда не равно нулю, то m + 2 = 0. Отсюда получаем, что m = -2. Таким образом, общее решение однородного уравнения имеет вид: y_h = C * e^(-2x), где C - произвольная постоянная.

Шаг 2: Найдите частное решение неоднородного уравнения. Предположим, что частное решение имеет вид y_p = A * e^(-x), где A - неизвестная постоянная. Подставим это предположение в уравнение и получим: (-A * e^(-x)) + 2 * (A * e^(-x)) = e^(-x). Упростим это уравнение и получим: A * e^(-x) = e^(-x). Сократим e^(-x) и получим: A = 1. Таким образом, частное решение неоднородного уравнения имеет вид: y_p = e^(-x).

Шаг 3: Найдите общее решение неоднородного уравнения. Общее решение неоднородного уравнения получается путем сложения общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения: y = y_h + y_p = C * e^(-2x) + e^(-x), где C - произвольная постоянная.

Таким образом, решение уравнения y' + 2y = e^(-x) имеет вид: y = C * e^(-2x) + e^(-x), где C - произвольная постоянная.