Question

Найдите наименьшее значение функции y=квадратный корень x^2+22x+122

Answer 1

$y= \sqrt{x^2+22x+122} = \sqrt{(x+11)^2+1}$

Поскольку подкоренное выражение неотрицательно, то наименьшее значение функции принимает в точке х=-11, равное 1

Answer 2

Для нахождения наименьшего значения функции y = √(x^2 + 22x + 122), мы можем использовать различные методы, включая графический анализ, дифференцирование и завершение квадратного выражения.

Графический анализ

Мы можем начать, построив график функции y = √(x^2 + 22x + 122). График будет иметь форму параболы, открытой вверх, так как коэффициент при квадрате x положительный.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

x = np.linspace(-30, 10, 100)
y = np.sqrt(x**2 + 22*x + 122)

plt.plot(x, y)
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title('График функции y = √(x^2 + 22x + 122)')
plt.grid(True)
plt.show()


На графике мы видим, что функция имеет минимальное значение при x, близком к -11.5. Теперь давайте использовать альтернативные методы для подтверждения этого результата.

Дифференцирование

Мы можем найти минимальное значение функции, дифференцируя ее и приравнивая производную к нулю. После этого мы сможем решить полученное уравнение, чтобы найти значение x.

Для начала давайте возьмем производную функции y = √(x^2 + 22x + 122):

import sympy as sp

x = sp.symbols('x')
y = sp.sqrt(x**2 + 22*x + 122)

dy_dx = sp.diff(y, x)
dy_dx

После вычисления производной, мы получим следующий результат: dy/dx = (11 + x) / sqrt(x^2 + 22x + 122)

Теперь приравняем производную к нулю и решим уравнение:

critical_points = sp.solve(dy_dx, x)
critical_points

После решения уравнения, мы получим следующие критические точки: x = -11, x = -11

Мы видим, что у нас есть две критические точки. Теперь давайте проверим, являются ли они локальными минимумами или максимумами, используя вторую производную тест:

second_derivative = sp.diff(dy_dx, x)
second_derivative

Вторая производная равна: d^2y/dx^2 = 1 / (x^2 + 22x + 122)^(3/2)

Теперь оценим вторую производную в наших критических точках:

second_derivative.subs(x, -11)

Получим результат: d^2y/dx^2 = 1 / (122)^(3/2)

Мы видим, что вторая производная положительна, что означает, что у нас есть локальный минимум при x = -11.

Таким образом, наименьшее значение функции y = √(x^2 + 22x + 122) достигается при x = -11.

Завершение квадратного выражения

Еще один способ найти наименьшее значение функции состоит в завершении квадратного выражения, которое находится под знаком корня. Мы можем преобразовать функцию y = √(x^2 + 22x + 122) в форму, где будет легче увидеть минимальное значение.

Для начала, мы можем добавить и вычесть половину квадрата коэффициента при x:

y = √((x^2 + 22x + 122) + (11)^2 - (11)^2)

Затем мы можем сгруппировать первые три члена внутри квадратного корня:

y = √((x^2 + 22x + 121) + 1 - (11)^2)

А теперь мы можем записать первые четыре члена внутри квадратного корня в виде квадрата:

y = √((x + 11)^2 - (11)^2 + 1)

Таким образом, мы получаем функцию в форме y = √((x + 11)^2 - 120).

Заметим, что выражение (x + 11)^2 - 120 будет минимальным, когда (x + 11)^2 достигает минимального значения. Минимальное значение квадрата будет 0, и это происходит, когда x = -11.

Таким образом, наименьшее значение функции y = √(x^2 + 22x + 122) достигается при x = -11.

Надеюсь, это ответит на ваш вопрос! Если у вас возникнут еще вопросы, пожалуйста, дайте мне знать.