Question

Помогите найти наименьшее и наибольшее значение данной функции на заданном отрезке [-1;1] y=x^3/3-x^2+1

Answer 1

Y`=x²-2x=x(x-2)=0
x=0∈[-1;1]
x=2∉[-1;1]
y(-1)=-1/3-1+1=-1/3 наим
y(0)=1 наиб
y(1)=1/3-1+1=1/3

Answer 2

Для нахождения наименьшего и наибольшего значения функции \(y = \frac{x^3}{3} - x^2 + 1\) на заданном отрезке \([-1; 1]\), мы можем использовать метод дифференциального исчисления. Давайте начнем с поиска критических точек функции на этом отрезке.

Нахождение критических точек функции:

1. Найдем производную функции \(y\) по переменной \(x\): \[ y' = \frac{d}{dx}(\frac{x^3}{3} - x^2 + 1) \] Производная функции \(y\) равна: \[ y' = x^2 - 2x \]

2. Теперь найдем критические точки, приравняв производную к нулю и решив уравнение: \[ x^2 - 2x = 0 \] Получаем два решения: \[ x_1 = 0 \quad \text{и} \quad x_2 = 2 \] Однако, \(x_2 = 2\) не находится в пределах отрезка \([-1; 1]\), поэтому нас интересует только \(x_1 = 0\).

Определение значений функции на краях отрезка:

Теперь, чтобы найти значения функции на краях отрезка \([-1; 1]\), мы вычислим \(y\) при \(x = -1\) и \(x = 1\).

При \(x = -1\): \[ y(-1) = \frac{(-1)^3}{3} - (-1)^2 + 1 = -\frac{1}{3} - 1 + 1 = -\frac{1}{3} \]

При \(x = 1\): \[ y(1) = \frac{1^3}{3} - 1^2 + 1 = \frac{1}{3} - 1 + 1 = \frac{1}{3} \]

Определение наименьшего и наибольшего значения:

Таким образом, мы получили следующие значения функции на краях отрезка: - \(y(-1) = -\frac{1}{3}\) - \(y(1) = \frac{1}{3}\)

Наименьшее значение функции на отрезке \([-1; 1]\) равно \(-\frac{1}{3}\), а наибольшее значение равно \(\frac{1}{3}\).