Question

Раскрыть неопределенность(1)^8, используя второй замечательный предел

Answer 1

$\lim_{x \to 1} (2-x)^{ \frac{2x}{1-x} } = 1^{\infty}$
неопределенность , преобразуем выражение
$\lim_{x \to 1} (2-x)^{ \frac{2x}{1-x} } = \lim_{x \to 1} (1+(1-x))^{ \frac{2x}{1-x} }$
сделаем замену
$1-x = t \Rightarrow \frac{1}{1-x} = \frac{1}{t}$
тогда
$\lim_{x \to 1} (1+(1-x))^{ \frac{2x}{1-x} } = \lim_{x \to 1} (1+t)^{ \frac{2x}{t} } =$
$= \lim_{x \to 1} ((1+t)^{ \frac{1}{t}})^{2x} } =e^{ \lim_{x \to 1} (2x)} = e^2$

Answer 2

Раскрытие неопределенности (1)^8, используя второй замечательный предел

Для раскрытия неопределенности (1)^8, мы можем использовать второй замечательный предел, который гласит:

$$\lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin x}{x} = 1$$

Используя этот предел, мы можем переписать выражение (1)^8 следующим образом:

$$\lim\limits_{x\to 0}(1)^8 = \lim\limits_{x\to 0}(1)^{\frac{8}{2}\cdot\frac{2}{2}} = \lim\limits_{x\to 0}(1)^{\frac{4}{2}\cdot\frac{4}{2}} = \lim\limits_{x\to 0}(1)^{\frac{2}{2}\cdot\frac{2}{2}\cdot\frac{2}{2}\cdot\frac{2}{2}}$$

Теперь мы можем использовать второй замечательный предел для каждого множителя:

$$\lim\limits_{x\to 0}(1)^{\frac{2}{2}\cdot\frac{2}{2}\cdot\frac{2}{2}\cdot\frac{2}{2}} = \lim\limits_{x\to 0}(1)^{\frac{2}{2}}\cdot\lim\limits_{x\to 0}(1)^{\frac{2}{2}}\cdot\lim\limits_{x\to 0}(1)^{\frac{2}{2}}\cdot\lim\limits_{x\to 0}(1)^{\frac{2}{2}}$$

По второму замечательному пределу, каждый множитель равен 1:

$$\lim\limits_{x\to 0}(1)^{\frac{2}{2}}\cdot\lim\limits_{x\to 0}(1)^{\frac{2}{2}}\cdot\lim\limits_{x\to 0}(1)^{\frac{2}{2}}\cdot\lim\limits_{x\to 0}(1)^{\frac{2}{2}} = 1\cdot1\cdot1\cdot1 = 1$$

Таким образом, раскрытие неопределенности (1)^8 с использованием второго замечательного предела дает результат равный 1.