Question

Составить уравнение касательной к графику функции y=7x-x^3 X0=-2

Answer 1

Находим производную y'=7-3x^2
Подставим значение х0 в производную: y'(-2)=-5
И в исходную функцию: y(-2)=-6
Уравнение касательной найдем по формуле: y=f'(x0)(x-x0)+f(x0)
Получаем: y=-5x-16

Answer 2

Для составления уравнения касательной к графику функции y = 7x - x^3 в точке x0 = -2, мы можем использовать производную функции, чтобы найти угловой коэффициент касательной. Затем, используя найденный угловой коэффициент и точку (-2, y(-2)), мы можем составить уравнение касательной.

Нахождение производной функции

Для начала, найдем производную функции y = 7x - x^3. Чтобы найти производную многочлена, мы можем применить правило дифференцирования для каждого члена отдельно.

Производная константы равна нулю, поэтому производная члена 7x будет равна 7.

Производная x^n, где n - целое число, равна n * x^(n-1). В нашем случае, производная члена -x^3 будет равна -3x^2.

Суммируя производные всех членов, получим производную функции y = 7x - x^3:

y' = 7 - 3x^2

Нахождение углового коэффициента касательной

Теперь, чтобы найти угловой коэффициент касательной в точке x0 = -2, мы подставим x = -2 в производную функции:

y'(-2) = 7 - 3(-2)^2 = 7 - 3(4) = 7 - 12 = -5

Угловой коэффициент касательной в точке x0 = -2 равен -5.

Составление уравнения касательной

Теперь у нас есть угловой коэффициент касательной и точка (-2, y(-2)), которую мы можем использовать для составления уравнения касательной в виде y = mx + b, где m - угловой коэффициент, а b - y-перехват.

Мы уже знаем, что угловой коэффициент m = -5, и точка (-2, y(-2)) = (-2, 30), где y(-2) - значение функции в точке x = -2.

Теперь мы можем подставить известные значения в уравнение касательной:

y = mx + b 30 = -5(-2) + b 30 = 10 + b

Вычитая 10 из обеих сторон, получим:

20 = b

Итак, уравнение касательной к графику функции y = 7x - x^3 в точке x0 = -2 будет:

y = -5x + 20