Question

Найдите наибольшее и наименьшее значение функции f(x)=sin x*cos x на отрезке [n;n2]. Начало: f'(x)=(sin x)'cos x+six x(cos x)' f''(x)=cos x cos x+sin x(-sin x)=cos x²-sin x²=Что дальше?

Answer 1

Видим, что f'(x)=cos(2x). Приравниваем к нулю, чтобы найти точки минимума и максимума: cos(2x)=0 <=> 2x=pi/2+pi*k <=> x=pi/4+pi*k/2. На заданном отрезке отмечаем точки x=5*pi/4 и 7*pi/4. Получили три интервала:
первый, [pi; 5pi/4) - на нем производная принимает положительные значения, значит функция возрастает;
Второй, (5pi/4; 7pi/4) - на нем производная принимает отрицательные значения, значит функция убывает и тогда точка 5pi/4 - точка максимума, в которой функция принимает наибольшее значение 1/2.
Третий, (7pi/4; 2*pi] - на нем производная принимает положительные значения, значит функция возрастает и тогда точка 7pi/4 - точка минимума, в которой функция принимает наименьшее значение -1/2.

Answer 2

Для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции f(x) = sin(x) + x*cos(x) на отрезке [n, n^2], мы можем использовать производные функции. Начнем с нахождения первой производной f'(x). Для этого возьмем производную каждого слагаемого по отдельности и сложим их: f'(x) = (sin(x))' + (x*cos(x))'

Производная синуса sin(x) равна косинусу cos(x): (sin(x))' = cos(x)

Производная произведения функций (x*cos(x))' можно найти с помощью правила производной произведения: (x*cos(x))' = x*(cos(x))' + (x)'*cos(x) = x*(-sin(x)) + 1*cos(x) = -x*sin(x) + cos(x)

Теперь мы можем записать полную первую производную f'(x): f'(x) = cos(x) - x*sin(x) + cos(x) = 2*cos(x) - x*sin(x)

Далее, чтобы найти точки экстремума (максимумы и минимумы), мы должны решить уравнение f'(x) = 0: 2*cos(x) - x*sin(x) = 0

На данный момент у нас нет конкретных значений для n и n^2, поэтому мы не можем решить это уравнение аналитически. Однако, мы можем использовать численные методы, такие как метод Ньютона, чтобы найти приближенные значения.

Решение численными методами

1. Выберите начальное приближение x0 на отрезке [n, n^2]. 2. Примените итерационную формулу метода Ньютона: x_(n+1) = x_n - f'(x_n)/f''(x_n), где x_n - текущее приближение, f'(x_n) - значение первой производной в точке x_n, f''(x_n) - значение второй производной в точке x_n. 3. Повторяйте шаг 2 до достижения сходимости, т.е. до тех пор, пока |x_(n+1) - x_n| < eps, где eps - некоторая заданная точность.

Нахождение наибольшего и наименьшего значения

После того, как мы найдем точки экстремума x1, x2, ..., xn на отрезке [n, n^2], мы можем вычислить значения функции f(x) в этих точках и выбрать наибольшее и наименьшее значение.

Однако, для полного решения задачи, нам необходимо знать конкретные значения n и n^2. Если у вас есть эти значения, я могу помочь вам найти точные значения наибольшего и наименьшего значения функции f(x) на отрезке [n, n^2].