Question

Найдите наименьшее натуральное x, при котором из того, что 14m+9n делится на 23, следует, что 8m+xn также делится на 23 (m и n – натуральные).

Answer 1

Если 14m + 9n и 8m + xn одновременно делятся на 23, то и 5 * (14m + 9n) - 3 * (8m + xn) = 46m - 3(x - 15)n должно делиться на 23 при любых натуральных m и n. 

Первое слагаемое делится на 23 при любых натуральных m, чтобы второе слагаемое было кратно 23 при любых n, 3(x - 15) должно делиться на 23, x должно давать остаток 15 при делении на 23. Наименьшее подходящее x равно 15.

46m делится на 23 при любых натуральных m и n. Тогда если 14m + 9n делится на 23, то 5 * (14m + 9n) - 46m = 3 * (8m + 15n) также делится на 23, значит, 8m + 15n делится на 23.

Ответ. 15

Answer 2

Ответ смотри на фото

Answer 3

Задача заключается в поиске наименьшего натурального числа x, при котором из того, что 14m + 9n делится на 23, следует, что 8m + xn также делится на 23. Для решения этой задачи нам понадобится использовать модульную арифметику и систему сравнений.

Решение

Для начала, давайте рассмотрим, как определить, делится ли число на 23. Чтобы проверить, делится ли число A на 23, мы можем проверить, равно ли остаток от деления числа A на 23 нулю. Если остаток равен нулю, то число A делится на 23.

Теперь давайте применим это знание к задаче. У нас есть два условия:

1. 14m + 9n делится на 23. 2. 8m + xn также делится на 23.

Мы ищем наименьшее значение x, при котором оба условия выполняются. Это означает, что нам нужно найти такое значение x, при котором разность (8m + xn) - (14m + 9n) также делится на 23.

Мы можем записать это в виде сравнения:

(8m + xn) - (14m + 9n) ≡ 0 (mod 23)

где "≡" означает сравнение по модулю, а "mod 23" означает, что мы рассматриваем остатки от деления на 23.

Теперь давайте упростим это выражение:

8m + xn - 14m - 9n ≡ 0 (mod 23)

(-6m + xn - 9n) ≡ 0 (mod 23)

Теперь нам нужно найти значение x, при котором это уравнение выполняется для любых натуральных значений m и n.

Чтобы решить это уравнение, мы можем использовать расширенный алгоритм Евклида для нахождения наибольшего общего делителя (НОД) коэффициентов при m и n, то есть -6 и x-9.

Если НОД (-6, x-9) равен 23, то это значит, что -6 и x-9 взаимно просты, и для любых натуральных m и n это уравнение будет выполняться. Нам нужно найти наименьшее значение x, при котором это выполняется, и это будет наименьшим общим кратным (НОК) -6 и 23.

Вычисление НОД и НОК

Для вычисления НОД и НОК, мы можем использовать следующие формулы:

НОД(a, b) * НОК(a, b) = |a * b|

где |a * b| - модуль произведения a и b.

Теперь давайте применим эти формулы к нашей задаче:

НОК(-6, 23) = |(-6 * 23)| / НОД(-6, 23)

НОД(-6, 23) = 1 (поскольку 23 - простое число)

НОК(-6, 23) = |-138| / 1 = 138

Ответ

Таким образом, наименьшее натуральное значение x, при котором из того, что 14m + 9n делится на 23, следует, что 8m + xn также делится на 23, равно 138.