Question

Найти общее решение дифференциального уравнения: y''-3y'+2y=1/(3+e^(-x))

Answer 1

Решение дано в виде фотографии

Answer 2

Для решения данного дифференциального уравнения, нам потребуется использовать метод вариации постоянных. Этот метод основан на предположении, что общее решение можно представить в виде частного решения, умноженного на функцию, содержащую неизвестные постоянные. Давайте последовательно проделаем необходимые шаги для нахождения общего решения.

1. Нахождение общего решения однородного уравнения

Для начала рассмотрим однородное уравнение, полученное путем обнуления правой части уравнения:

y'' - 3y' + 2y = 0

Для решения данного уравнения, сначала найдем характеристическое уравнение, подставив y = e^(rx) в уравнение:

r^2 - 3r + 2 = 0

Мы получаем квадратное уравнение, которое можно разложить на множители:

(r - 1)(r - 2) = 0

Отсюда получаем два корня: r1 = 1 и r2 = 2. Теперь мы можем записать общее решение однородного уравнения:

y_h(x) = C1*e^(x) + C2*e^(2x)

где C1 и C2 - произвольные постоянные.

2. Нахождение частного решения неоднородного уравнения

Чтобы найти частное решение неоднородного уравнения, мы предполагаем, что частное решение может быть представлено в виде:

y_p(x) = A(x)*e^(rx)

где A(x) - функция, содержащая неизвестные постоянные, и r - корень характеристического уравнения, связанный с правой частью уравнения.

В данном случае, правая часть уравнения равна 1/(3 + e^(-x)), поэтому r будет равно -1. Теперь мы можем записать частное решение:

y_p(x) = A(x)*e^(-x)

3. Нахождение функции A(x)

Чтобы найти функцию A(x), мы подставляем частное решение в исходное уравнение, и находим A(x) из равенства соответствующих коэффициентов при e^(-x):

y'' - 3y' + 2y = 1/(3 + e^(-x))

Заменяем y на y_p(x):

A''(x)*e^(-x) - 3*A'(x)*e^(-x) + 2*A(x)*e^(-x) = 1/(3 + e^(-x))

Упрощаем выражение, умножая обе части на (3 + e^(-x)):

A''(x) - 3*A'(x) + 2*A(x) = 1

Таким образом, мы получаем обыкновенное дифференциальное уравнение для нахождения A(x). Решив это уравнение, мы найдем функцию A(x).

4. Запись общего решения

После нахождения функции A(x), мы можем записать общее решение исходного неоднородного уравнения:

y(x) = y_h(x) + y_p(x)

y(x) = C1*e^(x) + C2*e^(2x) + A(x)*e^(-x)

где C1 и C2 - произвольные постоянные, а A(x) - функция, которую мы нашли на предыдущем шаге.

Это и есть общее решение дифференциального уравнения y'' - 3y' + 2y = 1/(3 + e^(-x)).