Question

Помогите пожалуйсжно нужно найти решение диферинцированого уравнения xdy-5ydx=0 ; y(1)=2

Answer 1

$x\, dy-5y\, dx=0\; \; ,\; \; \; y(1)=2\\\\x\, dy=5y\, dx\\\\\int \frac{dy}{y} =5\cdot \int \frac{dx}{x} \\\\ln|y|=5\cdot ln|x|+ln|C|\\\\ln|y|=ln|x|^5+ln|C|\\\\\underline {y=Cx^5}\\\\y(1)=2\; \; \to \; \; 2=C\cdot 1^5\; ,\; \; C=2\\\\\underline {y=2x^5}$

Answer 2

Конечно, я могу помочь вам с решением этого дифференциального уравнения. Давайте начнем с того, чтобы разобраться с уравнением и найти его общее решение.

Решение дифференциального уравнения xdy - 5ydx = 0

Для начала, давайте выразим уравнение в виде дифференциала относительно y:

xdy = 5ydx

Теперь мы можем поделить обе стороны на xy:

(dy/y) = (5*dx)/x

Теперь проинтегрируем обе стороны уравнения. Интеграл левой стороны будет логарифмом, а правой - ln(x) + C, где C - произвольная постоянная.

ln|y| = 5*ln|x| + C

Применяя свойство логарифма (ln(a) + ln(b) = ln(a*b)), мы можем записать это уравнение как:

ln|y| = ln(x^5) + C ln|y| = ln(x^5 * e^C)

Теперь мы можем взять экспоненту от обеих сторон уравнения:

|y| = x^5 * e^C

Теперь давайте учтем постоянную C. Поскольку e^C также является константой, давайте обозначим e^C новой константой K:

|y| = K * x^5

Теперь мы можем учесть начальное условие y(1) = 2. Поскольку мы получили абсолютное значение |y|, то y может быть равно как 2, так и -2. Поэтому мы получаем два уравнения:

1) 2 = K * 1^5 2) -2 = K * 1^5

Для первого уравнения K будет равно 2, а для второго -2. Таким образом, общее решение исходного дифференциального уравнения будет:

Общее решение: y = 2x^5 или y = -2x^5

Таким образом, мы нашли общее решение дифференциального уравнения и применили начальное условие, чтобы найти конкретное решение.