Question

Log 1/2 (2sinx)+ log 2(sqrt 3 cox x)=-1

Answer 1

ОДЗ: sinx>0
          cosx>0
По формуле перехода к другому основанию

$log_2( \sqrt{3}cosx)= \frac{log_{ \frac{1}{2}}( \sqrt{3}cosx ) }{log_{ \frac{1}{2}}2 }= \\ \\ =-log_{ \frac{1}{2}} (\sqrt{3} cosx)$

Уравнение примет вид:

$log_{ \frac{1}{2}} (2sinx)-log_{ \frac{1}{2}} (\sqrt{3} cosx)=-1 \\ \\log_{ \frac{1}{2}} \frac{2sinx}{ \sqrt{3}cosx } =-1 \\ \\ \frac{2sinx}{ \sqrt{3}cosx } =( \frac{1}{2})^{-1}$

$\frac{2sinx}{ \sqrt{3}cosx } =2 \\ \\ tgx= \sqrt{3} \\ \\ x=arctg \sqrt{3} + \pi k,k\inZ \\ \\ x= \frac{ \pi }{3}+ \pi k,k\in Z$

C учетом ОДЗ ( х - угол в первой четверти, синус положителен и косинус положителен)

Ответ.$x= \frac{ \pi }{3}+2 \pi k,k\in Z$

Answer 2

Для решения данного уравнения используем свойства логарифмов:

1. Преобразуем логарифмы суммы и разности: log(2sinx) / log(2) + log(sqrt(3) + cosx) / log(2) = -1 log(2sinx) / log(2) + log(sqrt(3) + cosx) / log(2) = log(1)

2. Преобразуем логарифмы в степени: log(2sinx) = -log(2) + log(sqrt(3) + cosx)

3. Преобразуем логарифмы в экспоненты: 2sinx = 2 / (sqrt(3) + cosx)

4. Разрешаем уравнение относительно sinx: sinx = 1 / (sqrt(3) + cosx)

5. Воспользуемся тригонометрическим тождеством sin^2x + cos^2x = 1: sin^2x = 1 / (sqrt(3) + cosx)^2 sin^2x = 1 / (3 + 2sqrt(3)cosx + cos^2x)

6. Подставим sin^2x в уравнение: 1 - cos^2x = 1 / (3 + 2sqrt(3)cosx + cos^2x) 1 - cos^2x = 1 / (3 + 2sqrt(3)cosx + cos^2x)

7. Умножим обе части на (3 + 2sqrt(3)cosx + cos^2x): (3 + 2sqrt(3)cosx + cos^2x) - (3 + 2sqrt(3)cosx + cos^2x)cos^2x = 1 3 + 2sqrt(3)cosx + cos^2x - 3cos^2x - 2sqrt(3)cosx*cos^2x - cos^4x = 1

8. Преобразуем уравнение: cos^4x - 5cos^2x - 2sqrt(3)cosx + 2 = 0

9. Решим квадратное уравнение относительно cosx: Пусть t = cosx: t^2 - 5t - 2sqrt(3)t + 2 = 0 t^2 - 5t - 2sqrt(3)t + 2 = 0 t^2 - 5t - 2sqrt(3)t + 2 = 0

10. Решим уравнение с помощью дискриминанта: D = (-5)^2 - 4*1*(2sqrt(3) + 2) = 25 - 8sqrt(3) - 8 = 17 - 8sqrt(3)

t1 = (5 + sqrt(D)) / 2 = (5 + sqrt(17 - 8sqrt(3))) / 2 t2 = (5 - sqrt(D)) / 2 = (5 - sqrt(17 - 8sqrt(3))) / 2

11. Таким образом, получаем два значения cosx: cosx1 = (5 + sqrt(17 - 8sqrt(3))) / 2 cosx2 = (5 - sqrt(17 - 8sqrt(3))) / 2

12. Найдем значения sinx, подставив найденные значения cosx в уравнение sinx = 1 / (sqrt(3) + cosx): sinx1 = 1 / (sqrt(3) + (5 + sqrt(17 - 8sqrt(3))) / 2) sinx2 = 1 / (sqrt(3) + (5 - sqrt(17 - 8sqrt(3))) / 2)

Таким образом, мы нашли два значения x, удовлетворяющих исходному уравнению.