Question

Найти производную y=ctgx/x

Answer 1

Y`=((x/sin^2x)-ctgx)/x^2

Answer 2

Для нахождения производной функции y = ctg(x)/x, мы можем использовать правило дифференцирования частного функций. Давайте разберемся пошагово.

Шаг 1: Выражение функции в более простом виде

Для начала, давайте выразим функцию y = ctg(x)/x в более простом виде. Мы можем использовать тригонометрическое соотношение cot(x) = 1/tan(x). Тогда:

y = ctg(x)/x = 1/tan(x) / x

Шаг 2: Найдем производную

Теперь, мы можем применить правило дифференцирования частного функций. Если у нас есть функции u(x) и v(x), производная их частного будет равна:

(d/dx)(u(x)/v(x)) = (v(x)*u'(x) - u(x)*v'(x)) / (v(x))^2

Применяя это правило к нашей функции y, где u(x) = 1 и v(x) = tan(x)/x, мы получим:

y' = ((tan(x)/x)*(1)' - (1)*(tan(x)/x)' ) / ((tan(x)/x))^2

Шаг 3: Вычислим производные

Давайте вычислим производные, чтобы продолжить упрощение:

- Производная (1)' равна 0, так как производная константы всегда равна нулю. - Производная (tan(x)/x)' будет требовать применение правила дифференцирования частного и цепного правила дифференцирования.

Шаг 4: Применим правило дифференцирования частного и цепное правило дифференцирования

Применим правило дифференцирования частного и цепное правило дифференцирования к функции tan(x)/x.

Обозначим u(x) = tan(x), v(x) = x. Тогда:

(tan(x)/x)' = (v(x)*u'(x) - u(x)*v'(x)) / (v(x))^2

Продолжая вычисления:

- u'(x) = sec^2(x), производная тангенса равна квадрату секанса. - v'(x) = 1, производная x равна 1.

Теперь, мы можем подставить эти значения в формулу:

(tan(x)/x)' = (x*sec^2(x) - tan(x)*1) / x^2

Шаг 5: Упростим выражение

Чтобы упростить выражение, мы можем умножить числитель на x и упростить его:

(tan(x)/x)' = (x*sec^2(x) - tan(x))/x^2

Шаг 6: Окончательный результат

Итак, производная функции y = ctg(x)/x равна:

y' = (x*sec^2(x) - tan(x))/x^2

Это окончательный результат. Теперь у нас есть производная функции y = ctg(x)/x.