Question

Найдите общий вид первообразных для функции y= 1- cos3x

Answer 1

Y=1-cos3x
∫(1-cos3x)dx= x-(sin3x)/3 +c, c∈R

Answer 2

Для нахождения общего вида первообразной функции \(y = 1 - \cos(3x)\), мы можем использовать метод интегрирования. Первообразная функция (или интеграл) для данной функции будет представлять собой функцию, производная которой равна исходной функции \(1 - \cos(3x)\).

Интегрирование функции \(1 - \cos(3x)\)

Для интегрирования данной функции, мы можем использовать замечательную формулу тригонометрии \(1 - \cos(2\theta) = \sin^2(\theta)\). Применяя эту формулу, мы можем переписать исходную функцию следующим образом:

\[1 - \cos(3x) = 1 - \cos(2 \cdot \frac{3}{2}x) = 1 - \cos(2 \cdot \frac{3}{2}x) = 1 - \cos(2 \cdot \frac{3}{2}x) = \sin^2(\frac{3}{2}x)\]

Теперь мы можем проинтегрировать функцию \(\sin^2(\frac{3}{2}x)\), используя формулу интегрирования для \(\sin^2(x)\). Для этого мы можем воспользоваться формулой половинного угла:

\[ \sin^2(x) = \frac{1 - \cos(2x)}{2} \]

Применяя эту формулу к нашей функции, получим:

\[ \sin^2(\frac{3}{2}x) = \frac{1 - \cos(3x)}{2} \]

Общий вид первообразной

Таким образом, общий вид первообразной для функции \(y = 1 - \cos(3x)\) будет:

\[ F(x) = \frac{x}{2} - \frac{\sin(3x)}{6} + C \]

где \(C\) - произвольная постоянная, которая появляется при интегрировании.

Таким образом, мы нашли общий вид первообразной для функции \(y = 1 - \cos(3x)\), который можно представить в виде \(F(x) = \frac{x}{2} - \frac{\sin(3x)}{6} + C\), где \(C\) - произвольная постоянная.