Question

Log5(2x+3)+log 5(4-x)=1

Answer 1

Log_5(2x+3) + log_5(4-x) = 1            ОДЗ: x>-1,5
log_5(2x+3)*(4-x) = log_5(5)                      x<4
(2x+3)(4-x) = 5                                           x ∈ (-1,5;4)
8x - 2x^2 + 12 - 3x - 5 = 0
-2x^2 + 5x +7 = 0 |*(-1)
2x^2 -5x - 7 = 0
x1 = 7, x2 = -2 - не удовлетворяет ОДЗ
Ответ: x = 7

Answer 2

Решение уравнения с логарифмами

Давайте рассмотрим уравнение:

\[ \log_5(2x+3) + \log_5(4-x) = 1 \]

Шаг 1: Применение свойств логарифмов

Сначала мы можем объединить логарифмы, используя свойство логарифмов \(\log_a m + \log_a n = \log_a (m \cdot n)\):

\[ \log_5((2x+3)(4-x)) = 1 \]

Шаг 2: Преобразование логарифмического уравнения в экспоненциальную форму

Теперь мы можем преобразовать логарифмическое уравнение в экспоненциальную форму. Для этого используем определение логарифма:

\[ \log_a b = c \] эквивалентно \(a^c = b\)

Применяя это к нашему уравнению, получаем:

\[ 5^1 = (2x+3)(4-x) \]

Шаг 3: Решение уравнения

Теперь мы можем решить уравнение \(5 = (2x+3)(4-x)\):

\[ 5 = 8x - 2x^2 + 12 - 3x \] \[ 0 = -2x^2 + 5x + 7 \]

Шаг 4: Решение квадратного уравнения

Уравнение \(-2x^2 + 5x + 7 = 0\) является квадратным уравнением. Мы можем использовать квадратное уравнение, чтобы найти значения \(x\).

\[ x = \frac{{-b \pm \sqrt{{b^2 - 4ac}}}}{{2a}} \]

где \(a = -2\), \(b = 5\), \(c = 7\)

Шаг 5: Нахождение корней квадратного уравнения

Вычислим значения \(x\) с использованием формулы квадратного уравнения:

\[ x = \frac{{-5 \pm \sqrt{{5^2 - 4(-2)(7)}}}}{{2(-2)}} \] \[ x = \frac{{-5 \pm \sqrt{{25 + 56}}}}{{-4}} \] \[ x = \frac{{-5 \pm \sqrt{{81}}}}{{-4}} \] \[ x = \frac{{-5 \pm 9}}{{-4}} \]

Таким образом, получаем два значения \(x\):

\[ x_1 = \frac{-5 + 9}{-4} = \frac{4}{-4} = -1 \] \[ x_2 = \frac{-5 - 9}{-4} = \frac{-14}{-4} = \frac{7}{2} \]

Ответ:

Уравнение \( \log_5(2x+3) + \log_5(4-x) = 1 \) имеет два решения: \( x = -1 \) и \( x = \frac{7}{2} \).