Question

Вычислить площадь фигуры ограниченной у=-х^2+4х- и прямой х=1 и х=3 и осью ох

Answer 1

Границы интегрирования: абсциссы точек пересечения параболы с ОХ. решить уравнение: у=0, х²+х-6=0
х₁=-3, х₂=2
а=-3, в=2
т.к. фигура, площадь которой находим расположена ниже оси ОХ, то поменяем границы интегрирования
продолжение во вложении

Answer 2

Для вычисления площади фигуры, ограниченной у = -х^2 + 4х и прямыми х = 1, х = 3 и осью ох, нужно найти точки пересечения у = -х^2 + 4х с прямыми х = 1 и х = 3.

Сначала найдем точки пересечения с прямой х = 1: Подставим х = 1 в у = -х^2 + 4х: у = -(1)^2 + 4*1 у = -1 + 4 у = 3

Таким образом, точка пересечения с прямой х = 1 имеет координаты (1, 3).

Теперь найдем точку пересечения с прямой х = 3: Подставим х = 3 в у = -х^2 + 4х: у = -(3)^2 + 4*3 у = -9 + 12 у = 3

Таким образом, точка пересечения с прямой х = 3 также имеет координаты (3, 3).

Теперь построим график функции у = -х^2 + 4х и прямых х = 1 и х = 3. Мы видим, что фигура, ограниченная этой функцией и прямыми, представляет собой параболу, которая открыта вниз.

Теперь нужно найти площадь фигуры, ограниченной этой параболой, прямыми х = 1 и х = 3, и осью ох. Для этого можно воспользоваться интегралом:

S = ∫[a, b] |f(x)| dx, где a и b - координаты точек пересечения параболы с прямыми.

S = ∫[1, 3] |(-x^2 + 4x)| dx = ∫[1, 3] (-x^2 + 4x) dx

Вычислим интеграл: S = [-x^3/3 + 2x^2] от 1 до 3 S = [-(3^3)/3 + 2*(3^2)] - [-(1^3)/3 + 2*(1^2)] S = [-27/3 + 18] - [-1/3 + 2] S = [-9 + 18] - [-1/3 + 2] S = 9 - 1/3 + 2 S = 11 2/3

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной у = -х^2 + 4х, прямыми х = 1 и х = 3, и осью ох, равна 11 2/3.

Итак, площадь этой фигуры составляет 11 2/3 квадратных единиц.