Question

ПОМОГИТЕ! Исследовать функцию с помощью первой производной: f(x)=x^4-18x^2+4??

Answer 1

ООФ: $x\in R$
Найдем производную: 
$y=x^4-18x^2+4\\ y'=4x^3-36x$
Найдем критические точки:
$4x^3-36x=0\\ 4x(x^2-9)=0\\ 4x(x-3)(x+3)=0\\ x_1 = 0; x_2=3; x_3=-3$
Определяем знак производной на получившихся промежутках. Изображение прикрепила. 
Если при переходе через критическую точку производная меняет знак c «+» на «–», то имеем точку максимума (в нашем случае это x=0), а если с «–» на «+», то имеем точку минимума (в нашем случае x=-3; x=3).
На промежутке $x \in (-\infty;-3)\cup(0;3)$ функция убывает
На промежутке $x \in (-3;0)\cup(3;+\infty)$ функция возрастает
График прикрепила вторым изображением

Answer 2

f(x)=x^4-18x^2+4
D(f)∈R
f(-x)=x^4-18x^2+4 четная
(0;4) точка пересечения с осью оу
f`(x)=4x³-36x=4x(x²-9)=4x(x-3)(x+3)
4x(x-3)(x+3)=0
x=0  x=3  x=-3
             _                       +                      _                   +
----------------(-3)-------------------(0)---------------------(3)----------------
убыв           min  возр             max  убыв            min  возр
ymin=y(-3)=y(3)=81-162+4=-77
ymax=y(0)=4
f``(x)=12x²-36=12(x²-3)=12(x-√3)(x+√3)
129x-√3)(x+√3)=0
x=√3  x=-√3
             +                   _                 +
------------------(-√3)-----------------(√3)------------------
вогн вниз            выпук вверх         вогн вниз
y(-√3)=y(√3)=9-54+4=-41
(-√3;-41);(√3;-41) точки перегиба

Answer 3

Функция, которую нужно исследовать, задана следующим образом:

f(x) = x^4 - 18x^2 + 4

Для исследования функции с помощью первой производной, мы можем выполнить следующие шаги:

1. Найдите первую производную функции f(x).

Для этого возьмем производную каждого члена функции по отдельности и применим правила дифференцирования.

Производная функции f(x) будет равна:

f'(x) = 4x^3 - 36x

2. Найдите точки экстремума.

Чтобы найти точки экстремума, приравняем производную f'(x) к нулю и решим полученное уравнение относительно x.

4x^3 - 36x = 0

Факторизуем это уравнение:

4x(x^2 - 9) = 0

Теперь решим полученные уравнения:

a) 4x = 0: - Решение: x = 0

b) x^2 - 9 = 0: - Решение: x = -3, x = 3

Таким образом, точки экстремума функции f(x) равны x = -3, x = 0 и x = 3.

3. Определите интервалы возрастания и убывания.

Для этого проанализируем знак производной f'(x) на разных интервалах числовой оси.

a) Когда x < -3: - Подставим x = -4 в производную f'(x): - f'(-4) = 4(-4)^3 - 36(-4) = -256 + 144 = -112 - Знак производной f'(-4) отрицательный. - Значит, на интервале x < -3 функция f(x) убывает.

b) Когда -3 < x < 0: - Подставим x = -1 в производную f'(x): - f'(-1) = 4(-1)^3 - 36(-1) = -4 + 36 = 32 - Знак производной f'(-1) положительный. - Значит, на интервале -3 < x < 0 функция f(x) возрастает.

c) Когда 0 < x < 3: - Подставим x = 1 в производную f'(x): - f'(1) = 4(1)^3 - 36(1) = 4 - 36 = -32 - Знак производной f'(1) отрицательный. - Значит, на интервале 0 < x < 3 функция f(x) убывает.

d) Когда x > 3: - Подставим x = 4 в производную f'(x): - f'(4) = 4(4)^3 - 36(4) = 256 - 144 = 112 - Знак производной f'(4) положительный. - Значит, на интервале x > 3 функция f(x) возрастает.

4. Найдите значения функции f(x) в найденных точках экстремума.

Для этого подставим значения x = -3, x = 0 и x = 3 в исходную функцию f(x).

a) При x = -3: - f(-3) = (-3)^4 - 18(-3)^2 + 4 = 81 - 162 + 4 = -77

b) При x = 0: - f(0) = (0)^4 - 18(0)^2 + 4 = 0 - 0 + 4 = 4

c) При x = 3: - f(3) = (3)^4 - 18(3)^2 + 4 = 81 - 162 + 4 = -77

Таким образом, значения функции f(x) в точках экстремума равны f(-3) = -77, f(0) = 4 и f(3) = -77.

5. Найдите точки перегиба.

Чтобы найти точки перегиба, нужно проанализировать изменение знака второй производной f''(x).

Производная второго порядка f''(x) будет равна:

f''(x) = 12x^2 - 36

Для определения точек перегиба приравняем вторую производную f''(x) к нулю и решим полученное уравнение относительно x.

12x^2 - 36 = 0

Решим это уравнение:

x^2 - 3 = 0

Факторизуем его:

(x - √3)(x + √3) = 0

Теперь решим полученные уравнения:

a) x - √3 = 0: - Решение: x = √3

b) x + √3 = 0: - Решение: x = -√3

Таким образом, точки перегиба функции f(x) равны x = √3 и x = -√3.

6. Определите выпуклость и вогнутость функции.

Для определения выпуклости и вогнутости функции, проанализируем знак второй производной f''(x) на разных интервалах числовой оси.

a) Когда x < -√3: - Подставим x = -4 во вторую производную f''(x): - f''(-4) = 12(-4)^2 - 36 = 192 - 36 = 156 - Знак второй производной f''(-4) положительный. - Значит, на интервале x < -√3 функция f(x) выпукла вверх.

b) Когда -√3 < x < √3: - Подставим x = 0 во вторую производную f''(x): - f''(0) = 12(0)^2 - 36 = -36 - Знак второй производной f''(0) отрицательный. - Значит, на интервале -√3 < x < √3 функция f(x) вогнута вниз.

c) Когда x > √3: - Подставим x = 4 во вторую производную f''(x): - f''(4) = 12(4)^2 - 36 = 192 - 36 = 156 - Знак второй производной f''(4) положительный. - Значит, на интервале x > √3 функция f(x) выпукла вверх.

7. Найдите точки пересечения с осями координат.

Для этого приравняем функцию f(x) к нулю и решим полученное уравнение относительно x.

x^4 - 18x^2 + 4 = 0

Это уравнение не может быть решено аналитически. Для нахождения точек пересечения с осями координат можно использовать численные методы или графический метод.

8. Постройте график функции.

Для визуализации функции f(x) можно построить график, используя программы для построения графиков, такие как Scilab, Octave, MATLAB или онлайн-сервисы.

Примечание:

В данном ответе использованы результаты поиска, предоставленные You.com. Пожалуйста, об