Question

(sinx+cosx)^2 -3(sinx+cosx) +2=0 Количество корен. на отрезке (0;2п) включая

Answer 1

Sinx+cosx=a
a²-3a+2=0
a1+a2=3 U a1*a2=2
a1=1⇒sinx+cosx=1
sinx+sin(π/2-x)=1
2sinπ/4cos(x-π/4)=1
√2cos(x-π/4)=1
cos(x-π/4)=1/√2
x-π/4=+-π/4+2πk
x=π/4-π/4+2πk=2πk U x=π/4+π/4+2πk=π/2+2πk
0≤2πk≤π U 0≤π/2+2πk≤π
0≤k≤1/2 нет решения U 0≤1+4k≤2⇒-1≤4k≤1⇒-1/4≤k≤1/4  k=0⇒x=π/2
a2=2⇒sinx+cosx=2
√2cos(x-π/4)=2
cos(x-π/4)=√2>1 нет решения
Ответ один корень

Answer 2

(sinx+cosx)^2 -3(sinx+cosx) +2=0
Совокупность: \left \{ {{sinx+cosx=2} \atop {sinx+cosx=1}} \right. 
Верхнее не имеет решения, так как синус и косинус одновременно не могут быть равны 1
Решаем нижнее
sinx+cosx=1
sqrt(2)/2*sinx+sqrt(2)/2*cosx=sqrt(2)/2
cosx*cos(pi/4)+sinx*sin(pi/4)=sqrt(2)/2
cos(x-pi/4)=sqrt(2)/2
x-pi/4=+-pi/4+2pik, k∈z
x=pi/4+-pi/4+2pik, k∈z

На промежутке (0;2pi): 1 корень: x=pi/2

Answer 3

Для решения уравнения (sinx+cosx)^2 - 3(sinx+cosx) + 2 = 0, мы можем использовать подстановку t = sinx + cosx. Тогда уравнение примет вид t^2 - 3t + 2 = 0.

Это квадратное уравнение, которое можно решить с помощью дискриминанта. Дискриминант D = (-3)^2 - 4*1*2 = 9 - 8 = 1. Так как D > 0, у уравнения два корня.

Решая квадратное уравнение, мы получаем два корня: t1 = 2 и t2 = 1.

Теперь мы должны вернуться к нашей подстановке t = sinx + cosx и решить систему уравнений sinx + cosx = 2 и sinx + cosx = 1.

Для уравнения sinx + cosx = 2 нет решений, так как максимальное значение sinx + cosx равно sqrt(2), которое меньше 2.

Для уравнения sinx + cosx = 1 мы можем найти решение, используя тригонометрические тождества: sinx = 1 - cosx. Подставляя это в уравнение, получаем (1 - cosx) + cosx = 1, откуда следует, что sinx = 1, cosx = 0.

Таким образом, у уравнения есть один корень на отрезке (0, 2π), включая его: x = π/2.