Question

1.Решите уравнение:25^x=5^x+12 2.Решите неравенство: 1\7^x²+x>1 3.Вычислите: 4^log16 9-1+log0,2 125

Answer 1

1) 5^2x=5^x+12
5^x=a a>0
a^2=a+12
a^2-a-12=0
a1=4   a2=-3
5^x=5
5^x=5^1
x=1
2) (1/7)^(x^2+x)>1
(1/7)^(x^2+x)>(1/7)^0
x^2+x>0
x(x+1)>0
  +   -1     -    0  +
(-∞,-1)∪(0,+∞)
3)  4^log16(9)-1+log0,2(125)=2^log4(3)+1-3log5(5)=3/2+1-3=-0,5

Answer 2

Уравнение: \(25^x = 5^x + 12\)

Для решения данного уравнения можно воспользоваться методом замены переменной. Давайте начнем с того, что представим \(25\) и \(5\) в виде степеней \(x\):

\(25 = 5^2\) и \(5 = 5^1\)

Теперь мы можем переписать уравнение следующим образом:

\((5^2)^x = 5^x + 12\)

Теперь мы можем использовать свойства степеней и умножения, чтобы упростить уравнение:

\(5^{2x} = 5^x + 12\)

Теперь давайте сделаем замену переменной, представив \(5^x\) как новую переменную, скажем \(u\):

\(u = 5^x\)

Тогда уравнение примет вид:

\(5^{2x} = u + 12\)

Теперь мы можем решить уравнение относительно \(u\):

\(5^{2x} - u = 12\)

Это квадратное уравнение относительно \(u\), которое можно решить с помощью стандартных методов решения квадратных уравнений. Как только найдем значения \(u\), мы сможем выразить \(x\) через них.

Неравенство: \(\frac{1}{7^{x^2}} + x > 1\)

Для решения данного неравенства нужно учесть, что дробь \(\frac{1}{7^{x^2}}\) будет убывать с ростом \(x^2\), поскольку \(7^{x^2}\) будет возрастать с ростом \(x^2\). Таким образом, с увеличением \(x^2\) дробь \(\frac{1}{7^{x^2}}\) будет уменьшаться.

Поэтому, чтобы удовлетворить неравенство \(\frac{1}{7^{x^2}} + x > 1\), необходимо, чтобы \(x\) был больше той точки, в которой \(\frac{1}{7^{x^2}}\) равняется \(0\), то есть чтобы \(x^2\) был меньше некоторого значения.

Вычисление: \(4^{\log_{16} 9 - 1} + \log_{0.2} 125\)

Для вычисления данного выражения, начнем с вычисления \(\log_{16} 9\):

\(\log_{16} 9 = \frac{\log 9}{\log 16}\)

Мы можем заметить, что \(\log 9 = \log 3^2 = 2 \log 3\), а \(\log 16 = \log 2^4 = 4 \log 2\), поэтому:

\(\log_{16} 9 = \frac{2 \log 3}{4 \log 2} = \frac{1}{2} \log 3 - \log 2\)

Теперь мы можем выразить \(\log_{16} 9 - 1\) и вычислить \(4^{\log_{16} 9 - 1}\).

Для второго члена \(\log_{0.2} 125\) мы можем воспользоваться свойством логарифмов \(\log_b a = \frac{1}{\log_a b}\), чтобы переписать его как \(\frac{1}{\log_{125} 0.2}\), и затем вычислить значение.

Давайте продолжим и рассчитаем значения для каждой части этого выражения.