Question

Исследуйте функцию f (x)=x^3/1-x

Answer 1

Решение: 
f(x)=x³/(1-x²) 
1) Область определения: D(y) (-∞;-1) (-1;1) (1;∞) 
2) Множество значений: E(y) (-∞;∞) 
3) проверим, является ли функция четной или нечетной: 
у (x)=x³/(1-x²) 
y(-x)=(-x)³/(1-(-x)²)=- x³/(1-x²) 
Так как у (-х) =-у (х) , то функция не четная. 
4) Найдем нули функции: 
у=0; x³/(1-x²)=0 
x³=0 
x=0 
График пересекает оси координат в точке (0;0) 
5) Найдем точки экстремума и промежутки возрастаний и убывания: 
y'=(3x²(1-x²)+2x*x³)/(1-x²)²=(3x²-x^4)/(1-x²)² 
3x²-x^4=0 
x²(3-x²)=0 
x²=0 
x1=0 
3-x²=0 
x2=√3 
x3=-√3 
Так как на промежутках (-∞;-√3) и (√3;∞) y'< 0, то на этих промежутках функция убывает. 
Так как на промежутках (-√3;-1) (-1;0) (0;1) и (1;√3) y'> 0, то на этих промежутках функция возрастатет. 
Так как при переходе через точку х=-√3 производная меняет свой знак с - на + то в этой точке функция имеет минимум: у (√3 )=-3√3/(1-3)=1.5√3 
Так как при переходе через точку х=√3 производная меняет свой знак с + на - то в этой точке функция имеет максимум: у (√3)=3√3/(1-2)=-1.5√3 
В точке х=0 функция экстремума не имеет 
6) Найдем промежутки выпуклости и точки перегида: 
y"=((3x-4x²)*(1-x²)²+2x(1-x²)(3x²-x^4))/(1-x²)^4=(6x^5-4x³+6x)/(1-x²)³; y"=0 
(6x^5-4x³+6x)/(1-x²)³=0 
6x^5-4x³+6x 
x(6x^4-4x²+6)=0 
x1=0 
6x^4-4x²+6=0 
уравнение не имеет корней 
Так как на промежутках (-1;0) и (1;∞) y"< 0, то на этих промежутках график функции направлен выпуклостью вверх 
Так как на промежутках (-∞;-1) (0;1) y"> 0, то на этих промежутках график функции направлен выпкулостью вниз. 
Точка х=0; являются точкой перегиба. 
7) Проверим имеет ли данная функция асимптоты: 
Так как финкция имеет точки разрыва, то найдем односторонние пределы в этих точках: 
lim (при х->-1-0) (x³/(1-x²)=+ ∞ 
lim (при х->-1+0) (x³/(1-x²)=- ∞ 
lim (при х->1-0) (x³/(1-x²)=+ ∞ 
lim (при х->-1+0) (x³/(1-x²)=-∞ 
Так как односторонние пределы бесконечны, то прямые х=-1 и х=1 являются вертикальными асимптотами 
Наклонные асимптоты вида y=kx+b 
k=lim (при х->∞) f(x)/x=lim (при х->∞) (x³/(x-x³)=-1 
b= lim (при х->∞) (f(x)-kx)=lim (при х->∞) (x³/(1-x²)+x)=0 
Итак прямая у=-х является наклонной асимптотой 
8) Все, строй график

Answer 2

Конечно! Давайте рассмотрим функцию f(x) = x^3 / (1 - x) подробнее.

Определение области определения

Первое, что мы обычно определяем для функции, это ее область определения. Область определения функции f(x) - это множество значений x, для которых функция имеет смысл. В данном случае, функция f(x) определена для всех значений x, кроме x = 1. Это потому, что знаменатель (1 - x) не может быть равным нулю, иначе мы получим деление на ноль, что неопределено.

Таким образом, область определения функции f(x) равна (-∞, 1) U (1, +∞).

Анализ поведения функции

Давайте теперь проанализируем поведение функции f(x) в этих интервалах.

1. Когда x стремится к -∞: При x, стремящемся к -∞, числитель x^3 стремится к -∞, а знаменатель (1 - x) стремится к 1. Так как числитель отрицательный, а знаменатель положительный, функция f(x) будет отрицательной бесконечностью: f(x) -> -∞.

2. Когда x стремится к 1 справа: При x, стремящемся к 1 справа (т.е. x > 1), числитель x^3 будет положительным, а знаменатель (1 - x) будет отрицательным, но близким к 0. Поэтому функция f(x) будет стремиться к положительной бесконечности: f(x) -> +∞.

3. Когда x стремится к 1 слева: При x, стремящемся к 1 слева (т.е. x < 1), числитель x^3 будет отрицательным, а знаменатель (1 - x) будет положительным, но близким к 0. Поэтому функция f(x) будет стремиться к отрицательной бесконечности: f(x) -> -∞.

4. Когда x стремится к +∞: При x, стремящемся к +∞, числитель x^3 стремится к +∞, а знаменатель (1 - x) стремится к -∞. Так как числитель положительный, а знаменатель отрицательный, функция f(x) будет отрицательной бесконечностью: f(x) -> -∞.

Таким образом, мы видим, что функция f(x) имеет вертикальную асимптоту x = 1, а также горизонтальные асимптоты y = -∞ и y = +∞.

График функции

Чтобы лучше представить себе поведение функции f(x), давайте построим ее график:

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

x = np.linspace(-10, 0.99, 1000)
y = x**3 / (1 - x)

plt.plot(x, y)
plt.axvline(x=1, color='r', linestyle='--')
plt.axhline(y=float('-inf'), color='g', linestyle='--')
plt.axhline(y=float('inf'), color='g', linestyle='--')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('f(x)')
plt.title('Graph of f(x) = x^3 / (1 - x)')
plt.grid(True)
plt.show()

График функции f(x) будет выглядеть следующим образом:


На графике видно, что функция имеет вертикальную асимптоту в точке x = 1 и ограничена значениями -∞ и +∞.

Надеюсь, это помогло! Если у вас возникли еще вопросы, пожалуйста, дайте мне знать.