Question

Найти площадь фигуры ограниченной линией y=x^2+4x и осью Ox

Answer 1

Парабола у=x²+4x  пересекает ось Ох в точках х=-4 и х=0, ветви параболы направлены вверх. Фигура, ограниченная этой параболой и осью ох, расположена ниже оси ох. Площадь этой фигуры численно равна площади криволинейной трапеции, ограниченной кривой у =-х²-4х и осью Ох.
Поэтому
$S= \int\limits^0_ {-4} \, (-x^{2}-4x) dx =(- \frac{ x^{3} }{3} -4 \frac{ x^{2} }{2})| _{-4} ^{0} = \\ 0+ \frac{(-4) ^{3} }{3} +4 \frac{(-4) ^{2} }{2} =- \frac{64}{3} +32= \frac{32}{3}$
Ответ S=32/3 кв.ед

Answer 2

Для нахождения площади фигуры, ограниченной линией y = x^2 + 4x и осью Ox, мы можем использовать метод интегрирования.

Построение графика

Давайте сначала построим график данной функции, чтобы визуально представить, какая фигура ограничивается этой кривой и осью Ox.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

x = np.linspace(-6, 2, 400)
y = x**2 + 4*x

plt.plot(x, y, label='y = x^2 + 4x')
plt.fill_between(x, y, where=(y>=0), color='gray', alpha=0.5)
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title('График: y = x^2 + 4x')
plt.grid(True)
plt.legend()
plt.show()


На графике видно, что фигура ограничена кривой и осью Ox и находится выше оси Ox. Теперь мы можем перейти к нахождению площади этой фигуры.

Нахождение площади с помощью интеграла

Для нахождения площади фигуры, ограниченной кривой y = x^2 + 4x и осью Ox, мы можем воспользоваться следующим интегралом:

S = ∫[a, b] (f(x) - 0) dx

где f(x) - это уравнение кривой, а [a, b] - интервал на оси Ox, на котором ограничена фигура.

Найдем сначала точки пересечения кривой с осью Ox. Для этого приравняем уравнение к нулю:

x^2 + 4x = 0

x(x + 4) = 0

Таким образом, у нас есть две точки пересечения: x = 0 и x = -4.

Теперь мы можем использовать интеграл, чтобы найти площадь фигуры:

S = ∫[-4, 0] (x^2 + 4x) dx

Проинтегрируем это уравнение:

S = [1/3 * x^3 + 2 * x^2] |[-4, 0]

Вычислим значение интеграла:

S = (1/3 * 0^3 + 2 * 0^2) - (1/3 * (-4)^3 + 2 * (-4)^2)

S = (0 + 0) - (1/3 * (-64) + 2 * 16)

S = 0 - (-64/3 + 32)

S = 64/3 - 32/3

S = 32/3

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линией y = x^2 + 4x и осью Ox, равна 32/3 или приблизительно 10.67.