Question

Найдите все решения уравнения cosx+sinx=корень2

Answer 1

sinx+cosx=1
1=корень2
х=1:корень из2
х=0,71

Answer 2

Для решения уравнения cos(x) + sin(x) = √2, мы можем использовать различные методы. Один из способов - использовать графический метод, чтобы найти приближенные значения x, на которых уравнение истинно. Другой способ - использовать алгебраический метод для точного нахождения всех решений.

Графический метод

Первым шагом в графическом методе является построение графика функции f(x) = cos(x) + sin(x) - √2. Затем мы ищем точки пересечения графика с осью x, которые представляют собой приближенные значения решений уравнения.

Примечание: Я не могу построить график в этом текстовом интерфейсе, но вы можете использовать программы для визуализации графиков, такие как Wolfram Alpha или графические калькуляторы, чтобы увидеть график функции и найти приближенные значения решений.

Алгебраический метод

Для точного нахождения всех решений уравнения cos(x) + sin(x) = √2, мы можем использовать алгебраический подход. Давайте рассмотрим этот метод подробнее.

1. Перепишем уравнение в виде: cos(x) + sin(x) - √2 = 0. 2. Применим формулу сложения тригонометрических функций для cos(x + α) и sin(x + α), где α - это некоторый угол.

cos(x + α) = cos(x)cos(α) - sin(x)sin(α) sin(x + α) = sin(x)cos(α) + cos(x)sin(α)

Подставим эти формулы в уравнение и приведем его к виду:

cos(x)(cos(α) + sin(α)) + sin(x)(cos(α) - sin(α)) - √2 = 0

Теперь у нас есть уравнение вида a cos(x) + b sin(x) + c = 0, где a = cos(α) + sin(α), b = cos(α) - sin(α) и c = -√2.

3. Найдем значение cos(α) и sin(α), чтобы получить определенные значения a и b. Для этого воспользуемся тем, что cos^2(α) + sin^2(α) = 1.

(cos(α) + sin(α))^2 + (cos(α) - sin(α))^2 = 1

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

cos^2(α) + 2cos(α)sin(α) + sin^2(α) + cos^2(α) - 2cos(α)sin(α) + sin^2(α) = 1

2cos^2(α) + 2sin^2(α) = 1

cos^2(α) + sin^2(α) = 1/2

Таким образом, cos(α) = ±√(1/2) и sin(α) = ±√(1/2).

4. Подставим значения cos(α) и sin(α) в уравнение a cos(x) + b sin(x) + c = 0:

(±√(1/2) + ±√(1/2))cos(x) + (±√(1/2) - ±√(1/2))sin(x) - √2 = 0

После сокращений получим:

±√2(cos(x) + sin(x)) - √2 = 0

cos(x) + sin(x) = ±1

5. Из уравнения cos(x) + sin(x) = ±1 мы можем получить два уравнения:

a) cos(x) + sin(x) = 1 b) cos(x) + sin(x) = -1

Каждое из этих уравнений соответствует двум квадрантам на координатной плоскости, и мы можем найти решения для каждого квадранта.

a) Для уравнения cos(x) + sin(x) = 1: - В первом квадранте (0° < x < 90°), нет решений, так как cos(x) и sin(x) положительны, и их сумма не может быть равна 1. - Во втором квадранте (90° < x < 180°), решение x = 135°. - В третьем квадранте (180° < x < 270°), решение x = 225°. - В четвертом квадранте (270° < x < 360°), нет решений, так как cos(x) и sin(x) отрицательны, и их сумма не может быть равна 1.

b) Для уравнения cos(x) + sin(x) = -1: - В первом квадранте (0° < x < 90°), нет решений, так как cos(x) и sin(x) положительны, и их сумма не может быть равна -1. - Во втором квадранте (90° < x < 180°), нет решений, так как cos(x) и sin(x) отрицательны, и их сумма не может быть равна -1. - В третьем квадранте (180° < x < 270°), решение x = 225°. - В четвертом квадранте (270° < x < 360°), решение x = 315°.

Таким образом, все решения уравнения cos(x) + sin(x) = √2 можно записать следующим образом: x = 135°, 225°, 315°.