Question

Решите уравнение cos2x+4sinx-4=0

Answer 1

Cos^2 x=1-sin^2 x;
3(1-sin^2 x) +4(1-sin x)=0;
3(1-sinx)(1+sinx) + 4(1-sinx)=0;
(1-sinx)(3+3sinx+4)=0;
(1-sinx)(3sinx+7)=0;
1) 1-sinx=0; sinx=1; x=пи/2+2пи*n;
2) 3sinx+7=0; sinx=-7; sinx=-7/3; не имеет решения, так как синус изменяется в пределах [-1;1].

Answer 2

Давайте решим уравнение cos(2x) + 4sin(x) - 4 = 0 подробно.

Шаг 1: Перепишем уравнение с использованием формулы двойного угла для косинуса. Формула двойного угла для косинуса гласит cos(2x) = 2cos^2(x) - 1. Подставим это в уравнение и получим:

2cos^2(x) - 1 + 4sin(x) - 4 = 0

Шаг 2: Упростим уравнение, добавив 1 к обеим сторонам:

2cos^2(x) + 4sin(x) - 3 = 0

Шаг 3: Разложим cos^2(x) по формуле двойного угла для синуса. Формула двойного угла для синуса гласит sin(2x) = 2sin(x)cos(x). Поделим обе стороны уравнения на 2:

cos^2(x) + 2sin(x)cos(x) - 3/2 = 0

Шаг 4: Разложим левую часть уравнения по сумме и разности синусов. Формулы суммы и разности синусов гласят:

sin(A + B) = sin(A)cos(B) + cos(A)sin(B) sin(A - B) = sin(A)cos(B) - cos(A)sin(B)

Используя эти формулы, мы можем переписать уравнение следующим образом:

(cos(x) + sin(x))(cos(x) - 2sin(x)) = 0

Шаг 5: Решим два уравнения в скобках отдельно:

cos(x) + sin(x) = 0 (Уравнение 1) cos(x) - 2sin(x) = 0 (Уравнение 2)

Для решения этих уравнений нам понадобится использовать тригонометрические идентичности.

Решение уравнения 1: cos(x) + sin(x) = 0 cos(x) = -sin(x)

Разделим обе части на cos(x):

1 + tan(x) = 0

tan(x) = -1

Таким образом, x = -π/4 + kπ, где k - целое число.

Решение уравнения 2: cos(x) - 2sin(x) = 0 cos(x) = 2sin(x)

Разделим обе части на sin(x):

cot(x) = 2

Таким образом, x = arccot(2) + kπ, где k - целое число.

Общее решение уравнения:

x = -π/4 + kπ, где k - целое число. или x = arccot(2) + kπ, где k - целое число.