Question

Помогите решить два уравнения. В долгу не останусь.)1) cos 2x + 3 sin x=2. Укажите его наибольшее решение, принадлежащее отрезку [-3; ] 2) cos 4x + 6 x = 1.

Answer 1

1)$cos2x+3sinx=2\\ cos2x=1-2sin^2x\\ 1-2sin^2x+3sinx=2\\ -2sin^2x+3sinx-1=0\\ 2sin^2x-3sinx+1=0\\ sinx=t\\ 2t^2-3t+1=0\\ D=9-4*2=1\\ t=\frac{3+/-1}{4}=1;\frac{1}{2}\\ x=\frac{\pi}{2}+2\pi\*n\\ x=\frac{\pi}{6}+2\pi\*n\\ x=\frac{5\pi}{6}+2\pi\*n$
Отсекаете решения добавляя к $n$ целые числа 

2)$cos4x+6sin^2x=1\\ 1-2sin^22x+6sin^2x=1\\ -2sin^22x+6sin^2x=0\\ -2*4sin^2x*(1-sin^2x)+6sin^2x=0\\ -8(sin^2x-sin^4x)+6sin^2x=0\\ -8sin^2x+8sin^4x+6sin^2x=0\\ 8sin^4x-2sin^2x=0\\ sin^2x(8sin^2x-2)=0\\ sinx=0\\ sinx=+-\frac{\sqrt{2}}{2}\\ x=\pi\*n\\ x=\pi\*n-\frac{5\pi}{6}\\ x=\pi\*n-\frac{\pi}{6}$

Answer 2

Давайте решим оба уравнения по очереди.

1) cos(2x) + 3sin(x) = 2

Для начала, давайте преобразуем это уравнение, чтобы оно содержало только одну тригонометрическую функцию. Мы можем использовать тригонометрические тождества для этого.

Заметим, что cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x), а sin(x) = sin(x). Подставим эти значения в уравнение:

cos^2(x) - sin^2(x) + 3sin(x) = 2

Теперь мы можем преобразовать это уравнение в квадратное уравнение относительно sin(x):

cos^2(x) - sin^2(x) + 3sin(x) - 2 = 0

Обозначим sin(x) = t. Тогда уравнение примет вид:

cos^2(x) - t^2 + 3t - 2 = 0

Мы можем решить это квадратное уравнение относительно t. Решив его, мы найдем значения t, которые будут соответствовать возможным решениям sin(x) для данного уравнения.

2) cos(4x) + 6x = 1

Для этого уравнения мы не можем использовать те же тригонометрические тождества, поэтому нам нужно найти другой способ решения.

Для начала, давайте перепишем это уравнение в виде:

cos(4x) = 1 - 6x

Заметим, что правая часть уравнения ограничена отрезком [0, 1], а cos(4x) изменяется от -1 до 1. Таким образом, у нас есть ограничение на значения, которые может принимать 4x.

Мы можем рассмотреть несколько значений и проверить, удовлетворяет ли cos(4x) = 1 - 6x нашему уравнению.

Начнем с x = 0: cos(4(0)) = cos(0) = 1. Это удовлетворяет нашему уравнению.

Попробуем x = 1: cos(4(1)) = cos(4) ≈ -0.654. Это не удовлетворяет нашему уравнению.

Мы можем продолжить этот процесс, рассматривая различные значения x и проверяя, удовлетворяет ли cos(4x) = 1 - 6x нашему уравнению.

Надеюсь, это помогает вам решить данные уравнения. Если у вас возникнут еще вопросы, пожалуйста, дайте мне знать.