Question

Исследовать функцию и построить ее график y=(-1/3)x³+(1/2)x²+2

Answer 1

ДАНО
Y= - 1/3*x³ + 1/2*x² + 2
ИССЛЕДОВАНИЕ
1. Область определения - Х∈(-∞;+∞) - непрерывная.
2. Пересечение с осью Х. Y=0 при х ≈ 2.45.
3. Пересечение с осью У.  У(0) = 2.
4. Поведение на бесконечности.limY(-∞) = +∞  limY(+∞) = -∞
5. Исследование на чётность.Y(-x) = x³/3 +x²/2 + 2 ≠ Y(x).
Функция ни чётная ни нечётная.
6. Производная функции.Y'(x)= x² + x = x*(x+1)
7. Корни производной - локальные экстремумы.
Убывает - Х∈(-∞;0]∪[1;+∞)
Минимум при Х=0. Ymin(0) = 2
Возрастает - Х∈[0;1]
Максимум при Х=1.  Ymax(1)= 2.16(6)
8. Вторая производнаяY"(x) = 2x - 1
9. Точка перегибаY"(x)=0 при X=0.5.
Вогнутая - "ложка" - Х∈(-∞;0,5]
Выпуклая - "горка" - X∈[0.5;+∞)
10. График в приложении.

Answer 2

Для начала исследуем функцию y=(-1/3)x³+(1/2)x²+2.

1. Найдем производные функции: Первая производная: y' = (-1)x² + x Вторая производная: y'' = -2x + 1

2. Найдем точки экстремума: Для этого найдем значения x, при которых y' = 0: 0 = (-1)x² + x x = 0 или x = 1

Теперь найдем значения y в точках экстремума: y(0) = 2 y(1) = (1/6)

3. Найдем точки перегиба: Для этого найдем значения x, при которых y'' = 0: 0 = -2x + 1 x = 1/2

Теперь найдем значения y в точке перегиба: y(1/2) = 7/8

4. Построим график функции:

Теперь, когда мы нашли все точки экстремума и перегиба, мы можем построить график функции y=(-1/3)x³+(1/2)x²+2. График будет иметь форму кубической параболы с точками экстремума в (0,2) и (1,1/6) и точкой перегиба в (1/2, 7/8).

График будет иметь форму ветвей, направленных вниз, с вершиной в точке перегиба и проходящих через точки экстремума.

Таким образом, мы исследовали функцию y=(-1/3)x³+(1/2)x²+2 и построили ее график, учитывая точки экстремума и перегиба.