Question

Найдите четырехтысячное натуральное число, которое не представимо в виде разности квадратов двух целых чисел.

Answer 1

Нетрудно описать все натуральные числа, представимые в виде разности квадратов целых. Пусть n=x2−y2=(x−y)(x+y), где x>y. Числа x−y и x+y имеют одинаковую чётность. Если они оба чётны, то n делится на 4. Если оба нечётны, то n нечётно.Числа того и другого вида в виде разности квадратов представимы. А именно, если n=4k, где kнатуральное, то полагаем x−y=2, x+y=2k, в качестве чего подходят x=k+1 и x=k−1. Если n нечётно, то полагаем x−y=1, x+y=n, и подойдут x=n+12, y=n−12.Таким образом, надо найти двухтысячное натуральное число вида 4m−2, где m натуральное.  Ответ: 7998

Answer 2

Для того чтобы найти такое число, мы можем воспользоваться теоремой Ферма о разложении числа на сумму двух квадратов. Эта теорема утверждает, что любое простое число p, для которого остаток от деления p на 4 равен 3, может быть представлено в виде суммы двух квадратов целых чисел.

Таким образом, нам нужно найти простое число, для которого остаток от деления на 4 равен 3. Однако, известно, что число 4000 = 2^5 * 5^3, и оно не имеет такого представления в виде разности квадратов двух целых чисел.

Следовательно, 4000 - это искомое четырехтысячное натуральное число, которое не представимо в виде разности квадратов двух целых чисел.