Question

Проверьте, что формула Эйлера верна для октаэдра, додекаэдра и икосаэдра.

Answer 1

Формула Эйлера для многогранников.

Пусть В — число вершин выпуклого многогранника, Р — число его ребер и Г — число граней. Тогда верно равенство В+Г=Р+2.

Октаэдр - многогранник с 8 гранями. (Грани- треугольники)У него 6 вершин и 12 ребер.

8+6=12+2.  Формула Эйлера верна.

Додекаэдр - многогранник, состоящий из граней- пятиугольников.Этих  граней 12.У него 30 ребер и 20 вершин.

20+12=30+2 Формула Эйлера верна.

Икосаэдр - многогранник, состоящий из 20 граней-треугольников.

У него также, как и у додекадра, 

30 ребер и 20 вершин.

20+12=30+2 Формула Эйлера верна.

Answer 2

Формула Эйлера для выпуклых многогранников утверждает, что количество вершин (V), рёбер (E) и граней (F) в многограннике связаны следующим равенством: V - E + F = 2.

Для проверки данной формулы для октаэдра, додекаэдра и икосаэдра сначала найдем количество вершин, рёбер и граней в каждом из них.

1. Октаэдр: - Вершин: 6 - Рёбер: 12 - Граней: 8

2. Додекаэдр: - Вершин: 20 - Рёбер: 30 - Граней: 12

3. Икосаэдр: - Вершин: 12 - Рёбер: 30 - Граней: 20

Теперь подставим полученные значения в формулу Эйлера:

1. Октаэдр: 6 - 12 + 8 = 2 (верно) 2. Додекаэдр: 20 - 30 + 12 = 2 (верно) 3. Икосаэдр: 12 - 30 + 20 = 2 (верно)

Таким образом, формула Эйлера подтверждается для октаэдра, додекаэдра и икосаэдра.