Question

Исследовать совместность систем: a) 3х-3у+3z=12 -2x+3y-5z=-10 -x+2z=-2 b) -3x+y=-4 -9x+2y+z=3 6x-y-z=-5

Answer 1

Разделим первое уравнение на 3 и получим х-у+z=4 Теперь его сложим с третьим и получим -у+3z=2. Теперь первое уравненние умножим на 2 и получим 2х-2у+2z=8. Теперь его сложим со вторым и получим у-3z= - 2 умножим обе части на -1 и получим -у+3 Z=2 Полученные уравнения одинаковы, значит в системе бесконечно много решений находимых по формуле у=3z-2.Z- любое число. Первое уравнение умножим на -3 9х-3у=12 Его сложим со вторым будет -у+z=15 Теперь первое умножим на 2 получим -6х +2у=-8 и сложим с третьим будет у-z=-13 Сравним у-z=-13 и у-z=-15 Эти два уравнения несовместимы, значит система не имеет решений.

Answer 2

a) Для начала исследуем совместность системы уравнений:

3x - 3y + 3z = 12 -2x + 3y - 5z = -10 -x + 2z = -2

Для этого преобразуем систему к матричному виду:

| 3 -3 3 | | x | | 12 | | -2 3 -5 | * | y | = | -10 | | -1 0 2 | | z | | -2 |

Применим метод Гаусса для нахождения решения системы. Преобразуем матрицу к ступенчатому виду:

| 3 -3 3 | | x | | 12 | | 0 3 -9 | * | y | = | -6 | | 0 3 0 | | z | | 10 |

Теперь приведем матрицу к улучшенному ступенчатому виду:

| 3 -3 3 | | x | | 12 | | 0 3 -9 | * | y | = | -6 | | 0 0 9 | | z | | 24 |

Теперь мы видим, что система имеет единственное решение, так как все переменные присутствуют в каждом уравнении и мы можем найти значения x, y и z.

Таким образом, данная система уравнений совместна и имеет единственное решение.

b) Теперь исследуем совместность второй системы уравнений:

-3x + y = -4 -9x + 2y + z = 3 6x - y - z = -5

Преобразуем систему к матричному виду:

| -3 1 0 | | x | | -4 | | -9 2 1 | * | y | = | 3 | | 6 -1 -1| | z | | -5 |

Применим метод Гаусса для нахождения решения системы. Преобразуем матрицу к ступенчатому виду:

| -3 1 0 | | x | | -4 | | 0 5 1 | * | y | = | -9 | | 0 0 0 | | z | | 0 |

Мы видим, что последнее уравнение 0z = 0 является тождественным, что означает бесконечное количество решений. Это означает, что система уравнений совместна и имеет бесконечное количество решений.

Таким образом, исследование совместности системы уравнений показало, что первая система имеет единственное решение, а вторая система имеет бесконечное количество решений.