Question

Помогите решить пожалуйста y''+6y+9y=0

Answer 1

У(у+15)=0
у+15=0
у=-15
проверка
(-15)^2+6*(-15)+9*(-15)=225-90-135=0

Answer 2

Данное уравнение y'' + 6y + 9y = 0 является линейным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Для его решения можно использовать характеристическое уравнение.

Характеристическое уравнение

Для решения уравнения y'' + 6y + 9y = 0 сначала составим характеристическое уравнение, заменив каждый член производной на соответствующую степень переменной:

r^2 + 6r + 9 = 0

Решение характеристического уравнения

Для решения этого квадратного уравнения можно использовать метод дискриминанта или метод завершения квадратного трехчлена. В данном случае, уравнение r^2 + 6r + 9 = 0 имеет дискриминант D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 * 1 * 9 = 0.

Так как дискриминант равен нулю, у уравнения есть только один корень r = -3. Поскольку это кратный корень, общее решение будет иметь вид:

y(x) = c1 * e^(-3x) + c2 * x * e^(-3x)

где c1 и c2 - произвольные постоянные.

Общее решение

Таким образом, общее решение дифференциального уравнения y'' + 6y + 9y = 0 будет иметь вид:

y(x) = c1 * e^(-3x) + c2 * x * e^(-3x)

где c1 и c2 - произвольные постоянные. Здесь y(x) представляет собой функцию, которая удовлетворяет исходному уравнению для всех значений x. Выбор конкретных значений для c1 и c2 позволит получить частное решение для заданных начальных условий или граничных условий.