Question

Доказать что дробь m (m-5)/2 есть целое число при любом натуральном m

Answer 1

Заметим, что дробь будет являться натуральной, если выражение сверху четно, так как иначе будет несократимая дробь. Значит, нам нужно доказать, что выражение m*(m-5) четно.
Рассмотрим четность m.
Если m четно, то m - 5 нечетно, и отсюда их произведение четно.
Если m нечетно, то m - 5 четно, и отсюда их произведение четно.
Мы перебрали все случаи и обнаружили, что m*(m-5) четно всегда. Следовательно, выражение (m*(m-5))/2 - натурально, что и требовалось доказать

Answer 2

Для доказательства, что выражение m(m-5)/2 является целым числом при любом натуральном m, можно воспользоваться методом математической индукции.

База индукции: Для m=1: 1*(1-5)/2 = -2, что является целым числом.

Индукционное предположение: Предположим, что выражение m(m-5)/2 является целым числом для некоторого натурального числа k.

Индукционный переход: Докажем, что выражение также является целым числом при m=k+1. (k+1)(k+1-5)/2 = (k+1)(k-4)/2 = (k^2 - 3k - 4)/2 = (k^2 - 3k + 2 - 6)/2 = (k^2 - 3k + 2)/2 - 3 Заметим, что k^2 - 3k + 2 делится на 2 без остатка, так как является произведением двух последовательных натуральных чисел. Таким образом, выражение (k^2 - 3k + 2)/2 является целым числом, и значит, (k+1)(k-5)/2 также является целым числом.

Таким образом, мы доказали, что выражение m(m-5)/2 является целым числом при любом натуральном m.